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Theorem prarloclem3 6652
 Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6658. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑦   𝑗,𝐿,𝑦   𝑃,𝑗,𝑦   𝑈,𝑗,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 491 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑋 ∈ ω)
2 simpll 489 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3 simplr 490 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝐴𝐿)
4 simprr 492 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → 𝑃Q)
5 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
65opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
76eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
87oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
98oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
109eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
1110anbi2d 445 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1211rexbidv 2344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
1312imbi1d 224 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
1413imbi2d 223 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅))
1615opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩)
1716eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q )
1817oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
1918oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2019eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2120anbi2d 445 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2221rexbidv 2344 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
2322imbi1d 224 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧))
2524opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩)
2625eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q )
2726oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2827oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2928eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3029anbi2d 445 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3130rexbidv 2344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3231imbi1d 224 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧))
3433opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑧 → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩)
3534eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑧 → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q )
3635oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑧 → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3736oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑧 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3837eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑧 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3938anbi2d 445 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑧 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4039rexbidv 2344 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4140imbi1d 224 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑧 → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42 2onn 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2𝑜 ∈ ω
43 nnacl 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 2𝑜) ∈ ω)
44 nna0 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +𝑜 2𝑜) ∈ ω → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
4642, 45mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
4746opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩ = ⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
4847eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ω → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
4948oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ω → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
5049oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
5150eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5251anbi2d 445 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5352rexbiia 2356 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54 opeq1 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨𝑦, 1𝑜⟩ = ⟨𝑗, 1𝑜⟩)
5554eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 )
5655oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5756oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5857eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 +𝑜 2𝑜) = (𝑗 +𝑜 2𝑜))
6059opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑗 → ⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ = ⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
6160eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑗 → [⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6261oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑗 → ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6362oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑗 → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6463eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑗 → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6558, 64anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑗 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
6665cbvrexv 2551 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6753, 66bitri 177 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6867biimpi 117 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
6968a1i 9 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70 prarloclem3step 6651 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7170ex 112 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271imim1d 73 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7372ex 112 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → ((∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑧), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
7423, 32, 41, 69, 73finds2 4351 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7514, 74vtoclga 2636 . . . 4 (𝑋 ∈ ω → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
7675imp 119 . . 3 ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
771, 2, 3, 4, 76syl13anc 1148 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78773impia 1112 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑋 ∈ ω ∧ 𝑃Q) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∃wrex 2324  ∅c0 3251  ⟨cop 3405  suc csuc 4129  ωcom 4340  (class class class)co 5539  1𝑜c1o 6024  2𝑜c2o 6025   +𝑜 coa 6028  [cec 6134   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   ·Q cmq 6438   ~Q0 ceq0 6441   +Q0 cplq0 6444   ·Q0 cmq0 6445  Pcnp 6446 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621 This theorem is referenced by:  prarloclem4  6653
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