cauappcvgprlemladdrl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdrl 7465

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7466. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdrl	⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5781	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑟 +_Q 𝑞))
2	1	breq1d 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
3	2	rexbidv 2438	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
4		nqex 7171	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
5	4	rabex 4072	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
6	4	rabex 4072	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
7	5, 6	op1st 6044	. . . 4 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}
8	3, 7	elrab2 2843	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
9		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
10	9	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐹:Q⟶Q)
11	10	ffvelrnda 5555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑏) ∈ Q)
12		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑞 ∈ Q)
13		addclnq 7183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
14	12, 13	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
15		addclnq 7183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
16	11, 14, 15	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
17	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
18		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	17, 18	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
20		ltsonq 7206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q Or Q
21		so2nr 4243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
22	20, 21	mpan 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
23	16, 19, 22	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
24		addclnq 7183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
25	11, 24	sylancom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
26		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
27	26	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑆 ∈ Q)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
29		addassnqg 7190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
30	25, 18, 28, 29	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
31	30	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
32		ltanqg 7208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
34		addclnq 7183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
35	25, 18, 34	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
36		addcomnqg 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
38	33, 35, 19, 28, 37	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
39		addcomnqg 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
40	28, 18, 39	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
41	40	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
42	41	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
43	31, 38, 42	3bitr4rd 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
44		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ Q)
45		addassnqg 7190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
46	11, 44, 18, 45	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
47		addcomnqg 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
48	44, 18, 47	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
49	48	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
50	46, 49	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
51	50	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
52	43, 51	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
53	52	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
54		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
55	54	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
56		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑏))
57		oveq1 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑏 +_Q 𝑞))
58	57	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
59	56, 58	breq12d 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
60	56, 57	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
61	60	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
62	59, 61	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
63	62	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
64	63	rspcv 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
65	55, 64	mpan9 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
66		rsp 2480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
67	65, 18, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
68	67	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
69	68, 49	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
70	53, 69	jctird 315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))))
71	23, 70	mtod 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
72	71	nrexdv 2525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
73	72	intnand 916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
74		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
75		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +_Q 𝑏) = (𝑝 +_Q 𝑞))
76	74, 75	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
77	76	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
78	75	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
79	74, 78	breq12d 3942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
80	77, 79	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))))
81	80	cbvralv 2654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
82	81	ralbii 2441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
83	55, 82	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))))
84		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
85	84	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
86		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
87		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑏))
88		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑏))
89	87, 88	breq12d 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
90	89	cbvrexv 2655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏))
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
92	91	rabbiia 2671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}
93		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → 𝑞 = 𝑏)
94	88, 93	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏))
95	94	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
96	95	cbvrexv 2655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢)
97	96	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
98	97	rabbiia 2671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}
99	92, 98	opeq12i 3710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
100	86, 99	eqtri 2160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
101		addclnq 7183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
102	27, 12, 101	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
103	10, 83, 85, 100, 102	cauappcvgprlemladdfu 7462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩))
104	103	sseld 3096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩)))
105		breq2 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
106	105	rexbidv 2438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
107	4	rabex 4072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))} ∈ V
108	4	rabex 4072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢} ∈ V
109	107, 108	op2nd 6045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}
110	106, 109	elrab2 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
111	104, 110	syl6ib 160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))))
112	73, 111	mtod 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
113	9, 54, 84, 86	cauappcvgprlemcl 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
114	113	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐿 ∈ P)
115		nqprlu 7355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
116	102, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
117		addclpr 7345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
118	114, 116, 117	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
119		prop 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
120		prloc 7299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
121	119, 120	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
122	118, 121	sylancom 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
123	112, 122	ecased 1327	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
124		simpllr 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ Q)
125	114, 27, 124, 12	caucvgprlemcanl 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ↔ 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
126	123, 125	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
127	126	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
128	127	rexlimdva 2549	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
129	128	expimpd 360	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
130	8, 129	syl5bi 151	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
131	130	ssrdv 3103	1 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 697 ∧ w3a 962 = wceq 1331 ∈ wcel 1480 {cab 2125 ∀wral 2416 ∃wrex 2417 {crab 2420 ⊆ wss 3071 ⟨cop 3530 class class class wbr 3929 Or wor 4217 ⟶wf 5119 ‘cfv 5123 (class class class)co 5774 1^st c1st 6036 2^nd c2nd 6037 Qcnq 7088 +_Q cplq 7090 <_Q cltq 7093 Pcnp 7099 +_P cpp 7101

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-eprel 4211 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-irdg 6267 df-1o 6313 df-2o 6314 df-oadd 6317 df-omul 6318 df-er 6429 df-ec 6431 df-qs 6435 df-ni 7112 df-pli 7113 df-mi 7114 df-lti 7115 df-plpq 7152 df-mpq 7153 df-enq 7155 df-nqqs 7156 df-plqqs 7157 df-mqqs 7158 df-1nqqs 7159 df-rq 7160 df-ltnqqs 7161 df-enq0 7232 df-nq0 7233 df-0nq0 7234 df-plq0 7235 df-mq0 7236 df-inp 7274 df-iplp 7276 df-iltp 7278

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 7466

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