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Theorem cauappcvgprlemladdrl 6812
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6813. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s (𝜑𝑆Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdrl (𝜑 → (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5546 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
21breq1d 3801 . . . . 5 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
32rexbidv 2344 . . . 4 (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
4 nqex 6518 . . . . . 6 Q ∈ V
54rabex 3928 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} ∈ V
64rabex 3928 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
75, 6op1st 5800 . . . 4 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}
83, 7elrab2 2722 . . 3 (𝑟 ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
9 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:QQ)
109ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝐹:QQ)
1110ffvelrnda 5329 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑏) ∈ Q)
12 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑞Q)
13 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞Q𝑏Q) → (𝑞 +Q 𝑏) ∈ Q)
1412, 13sylan 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝑞 +Q 𝑏) ∈ Q)
15 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑏) ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑏) ∈ Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q)
1611, 14, 15syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q)
1710adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝐹:QQ)
18 simpllr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝑞Q)
1917, 18ffvelrnd 5330 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
20 ltsonq 6553 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q Or Q
21 so2nr 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (( <Q Or Q ∧ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑞) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
2220, 21mpan 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑞) ∈ Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
2316, 19, 22syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
24 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) ∈ Q𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q)
2511, 24sylancom 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q)
26 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆Q)
2726ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑆Q)
2827adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝑆Q)
29 addassnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q𝑞Q𝑆Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
3025, 18, 28, 29syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
3130breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
32 ltanqg 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
3332adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
34 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q𝑞Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) ∈ Q)
3525, 18, 34syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) ∈ Q)
36 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
3736adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
3833, 35, 19, 28, 37caovord2d 5697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
39 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆Q𝑞Q) → (𝑆 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑆))
4028, 18, 39syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝑆 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑆))
4140oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
4241breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
4331, 38, 423bitr4rd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
44 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝑏Q)
45 addassnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑏) ∈ Q𝑏Q𝑞Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
4611, 44, 18, 45syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
47 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑞Q) → (𝑏 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑏))
4844, 18, 47syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝑏 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑏))
4948oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
5046, 49eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
5150breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
5243, 51bitrd 181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
5352biimpd 136 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
54 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5554ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
56 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑏))
57 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑏 +Q 𝑞))
5857oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
5956, 58breq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6056, 57oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
6160breq2d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6259, 61anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6362ralbidv 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑏 → (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6463rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏Q → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6555, 64mpan9 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
66 rsp 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))) → (𝑞Q → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6765, 18, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6867simprd 111 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
6968, 49breqtrd 3815 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
7053, 69jctird 304 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))))
7123, 70mtod 599 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))
7271nrexdv 2429 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))
7372intnand 851 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
74 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑞 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞))
75 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +Q 𝑏) = (𝑝 +Q 𝑞))
7674, 75oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7776breq2d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ↔ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
7875oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) = ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7974, 78breq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8077, 79anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))))
8180cbvralv 2550 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑏Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8281ralbii 2347 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑝Q𝑏Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8355, 82sylibr 141 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ∀𝑝Q𝑏Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))))
84 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
8584ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
86 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
87 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑏))
88 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑏))
8987, 88breq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)))
9089cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏))
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙Q → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)))
9291rabbiia 2564 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} = {𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑏𝑞 = 𝑏)
9488, 93oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q 𝑏))
9594breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢))
9695cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢)
9796a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢Q → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢))
9897rabbiia 2564 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} = {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢}
9992, 98opeq12i 3581 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢}⟩
10086, 99eqtri 2076 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢}⟩
101 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆Q𝑞Q) → (𝑆 +Q 𝑞) ∈ Q)
10227, 12, 101syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝑆 +Q 𝑞) ∈ Q)
10310, 83, 85, 100, 102cauappcvgprlemladdfu 6809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩))
104103sseld 2971 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩)))
105 breq2 3795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
106105rexbidv 2344 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → (∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
1074rabex 3928 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))} ∈ V
1084rabex 3928 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢} ∈ V
109107, 108op2nd 5801 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}
110106, 109elrab2 2722 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
111104, 110syl6ib 154 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))))
11273, 111mtod 599 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)))
1139, 54, 84, 86cauappcvgprlemcl 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿P)
114113ad3antrrr 469 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝐿P)
115 nqprlu 6702 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 +Q 𝑞) ∈ Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
116102, 115syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
117 addclpr 6692 . . . . . . . . . 10 ((𝐿P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
118114, 116, 117syl2anc 397 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
119 prop 6630 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
120 prloc 6646 . . . . . . . . . 10 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))))
121119, 120sylan 271 . . . . . . . . 9 (((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))))
122118, 121sylancom 405 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))))
123112, 122ecased 1255 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)))
124 simpllr 494 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟Q)
125114, 27, 124, 12caucvgprlemcanl 6799 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ↔ 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
126123, 125mpbid 139 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
127126ex 112 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
128127rexlimdva 2450 . . . 4 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
129128expimpd 349 . . 3 (𝜑 → ((𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
1308, 129syl5bi 145 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
131130ssrdv 2978 1 (𝜑 → (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  {cab 2042  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  wss 2944  cop 3405   class class class wbr 3791   Or wor 4059  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   <Q cltq 6440  Pcnp 6446   +P cpp 6448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-iplp 6623  df-iltp 6625
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6813
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