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Theorem cauappcvgprlemladdru 6811
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6813. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s (𝜑𝑆Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3795 . . . . 5 (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
21rexbidv 2344 . . . 4 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
3 nqex 6518 . . . . . 6 Q ∈ V
43rabex 3928 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} ∈ V
53rabex 3928 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
64, 5op2nd 5801 . . . 4 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
72, 6elrab2 2722 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:QQ)
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆Q)
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 6810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
14 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑣))
15 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑣))
1615oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1714, 16breq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
1817cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙Q → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
2019rabbiia 2564 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑣𝑞 = 𝑣)
2215, 21oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑣))
2322oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
2423breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2524cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢)
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢Q → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2726rabbiia 2564 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} = {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
2820, 27opeq12i 3581 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩
2928fveq2i 5208 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)
3013, 29syl6sseq 3018 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
3130adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
328ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝐹:QQ)
33 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑞Q)
3432, 33ffvelrnd 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
35 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑣Q)
36 addassnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
3734, 33, 35, 36syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
38 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
3934, 33, 38syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
40 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4139, 40sylancom 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4237, 41eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q)
4332, 35ffvelrnd 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) ∈ Q)
44 ltsonq 6553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
45 so2nr 4085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( <Q Or Q ∧ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4644, 45mpan 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4742, 43, 46syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4812ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑆Q)
49 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
5049adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
51 addassnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔QQ) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5251adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
5453breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
55 ltanqg 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5655adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
5837breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
5954, 57, 583bitr2d 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
6059biimpd 136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
619ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
62 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑣))
63 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑣 +Q 𝑞))
6463oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6562, 64breq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6662, 63oveq12d 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6766breq2d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6865, 67anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
6968ralbidv 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7069rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7170adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
73 rsp 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))) → (𝑞Q → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7472, 33, 73sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
7574simpld 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
76 addcomnqg 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑞Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7735, 33, 76syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7877oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
7975, 78breqtrd 3815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
8060, 79jctird 304 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))))
8147, 80mtod 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
8281nrexdv 2429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ¬ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
838ffvelrnda 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
8483, 38sylancom 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
8512adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → 𝑆Q)
86 addclnq 6530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑆Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
8784, 85, 86syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
88 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (𝑙 +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣))
8988breq1d 3801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → ((𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9089rexbidv 2344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9190elrab3 2721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9382, 92mtbird 608 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
943rabex 3928 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ∈ V
953rabex 3928 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
9694, 95op1st 5800 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
9796eleq2i 2120 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
9893, 97sylnibr 612 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
9931, 98ssneldd 2975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
10099adantlr 454 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
101100adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿P)
103 nqprlu 6702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105 addclpr 6692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106102, 104, 105syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107 prop 6630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109 prloc 6646 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
110108, 109sylan 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
111110adantlr 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
112111adantlr 454 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
113112orcomd 658 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
114101, 113ecased 1255 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
115114ex 112 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
116115rexlimdva 2450 . . . 4 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
117116expimpd 349 . . 3 (𝜑 → ((𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
1187, 117syl5bi 145 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
119118ssrdv 2978 1 (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  {cab 2042  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  wss 2944  cop 3405   class class class wbr 3791   Or wor 4059  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   <Q cltq 6440  Pcnp 6446   +P cpp 6448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-iplp 6623
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6813
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