ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rimul GIF version

Theorem rimul 7804
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inelr 7803 . . 3 ¬ i ∈ ℝ
2 recexre 7797 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
32adantlr 461 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4 simplll 500 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 7261 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 498 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76recnd 7261 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 ax-icn 7185 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
9 mulass 7218 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
108, 9mp3an1 1256 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
115, 7, 10syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
12 oveq2 5571 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = (i · 1))
138mulid1i 7235 . . . . . . . . 9 (i · 1) = i
1412, 13syl6eq 2131 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1514ad2antll 475 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1611, 15eqtrd 2115 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = i)
17 simpllr 501 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
1817, 6remulcld 7263 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrrd 2160 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → i ∈ ℝ)
203, 19rexlimddv 2486 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → i ∈ ℝ)
2120ex 113 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 → i ∈ ℝ))
221, 21mtoi 623 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 # 0)
23 0re 7233 . . . 4 0 ∈ ℝ
24 reapti 7798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2523, 24mpan2 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2625adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2722, 26mpbird 165 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096  ici 7097   · cmul 7100   # creap 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794
This theorem is referenced by:  rereim  7805  cru  7821  cju  8157  crre  9945
  Copyright terms: Public domain W3C validator