ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rimul GIF version

Theorem rimul 7620
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inelr 7619 . . 3 ¬ i ∈ ℝ
2 recexre 7613 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
32adantlr 454 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4 simplll 493 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 7083 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 491 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76recnd 7083 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 ax-icn 7007 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
9 mulass 7040 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
108, 9mp3an1 1228 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
115, 7, 10syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
12 oveq2 5545 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = (i · 1))
138mulid1i 7057 . . . . . . . . 9 (i · 1) = i
1412, 13syl6eq 2102 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1514ad2antll 468 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
1611, 15eqtrd 2086 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = i)
17 simpllr 494 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
1817, 6remulcld 7085 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrrd 2129 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → i ∈ ℝ)
203, 19rexlimddv 2452 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → i ∈ ℝ)
2120ex 112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 → i ∈ ℝ))
221, 21mtoi 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 # 0)
23 0re 7055 . . . 4 0 ∈ ℝ
24 reapti 7614 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2523, 24mpan2 409 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2625adantr 265 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 # 0))
2722, 26mpbird 160 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  wrex 2322   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cc 6915  cr 6916  0cc0 6917  1c1 6918  ici 6919   · cmul 6922   # creap 7609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-precex 7022  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-ltxr 7094  df-sub 7217  df-neg 7218  df-reap 7610
This theorem is referenced by:  rereim  7621  cru  7637  cju  7959  crre  9649
  Copyright terms: Public domain W3C validator