Theorem rimul 8347

Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 8346	. . 3 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		recexre 8340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3	2	adantlr 468	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4		simplll 522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 7794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		ax-icn 7715	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
9		mulass 7751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
10	8, 9	mp3an1 1302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
11	5, 7, 10	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = (i · (𝐴 · 𝑥)))
12		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = (i · 1))
13	8	mulid1i 7768	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 1) = i
14	12, 13	syl6eq 2188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) = 1 → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
15	14	ad2antll 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · (𝐴 · 𝑥)) = i)
16	11, 15	eqtrd 2172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) = i)
17		simpllr 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
18	17, 6	remulcld 7796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((i · 𝐴) · 𝑥) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrrd 2217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → i ∈ ℝ)
20	3, 19	rexlimddv 2554	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 #ℝ 0) → i ∈ ℝ)
21	20	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 0 → i ∈ ℝ))
22	1, 21	mtoi 653	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 #ℝ 0)
23		0re 7766	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		reapti 8341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 0))
25	23, 24	mpan2 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 0))
26	25	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 #ℝ 0))
27	22, 26	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621  ici 7622   · cmul 7625   #_ℝ creap 8336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337

This theorem is referenced by:  rereim  8348  cru  8364  cju  8719  crre  10629