MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndc1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndc1stc 21167
Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ndc1stc (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → 𝐽 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem 2ndc1stc
Dummy variables 𝑜 𝑏 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndctop 21163 . 2 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → 𝐽 ∈ Top)
2 is2ndc 21162 . . . 4 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽))
3 ssrab2 3668 . . . . . . . . . . 11 {𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ 𝑏
4 bastg 20684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ TopBases → 𝑏 ⊆ (topGen‘𝑏))
543ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ (topGen‘𝑏))
63, 5syl5ss 3595 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ (topGen‘𝑏))
7 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘𝑏) ∈ V
87elpw2 4790 . . . . . . . . . 10 ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏) ↔ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ (topGen‘𝑏))
96, 8sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏))
10 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
11 ssdomg 7948 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V → ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ⊆ 𝑏 → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ 𝑏))
1210, 3, 11mp2 9 . . . . . . . . . 10 {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ 𝑏
13 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → 𝑏 ≼ ω)
14 domtr 7956 . . . . . . . . . 10 (({𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ 𝑏𝑏 ≼ ω) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω)
1512, 13, 14sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω)
16 eltg2b 20677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ TopBases → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) ↔ ∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜)))
17163ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) ↔ ∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜)))
18 elequ1 1994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑡𝑥𝑡))
1918anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑡𝑡𝑜) ↔ (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
2019rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜) ↔ ∃𝑡𝑏 (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
2120rspccv 3292 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜) → (𝑥𝑜 → ∃𝑡𝑏 (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡𝑏𝑥𝑡) → (𝑡𝑏𝑥𝑡))
2322adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜)) → (𝑡𝑏𝑥𝑡))
24 elequ2 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑡 → (𝑥𝑞𝑥𝑡))
2524elrab 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ↔ (𝑡𝑏𝑥𝑡))
2623, 25sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜)) → 𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞})
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜))) → 𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞})
28 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜))) → (𝑥𝑡𝑡𝑜))
29 elequ2 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑡 → (𝑥𝑝𝑥𝑡))
30 sseq1 3607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑡 → (𝑝𝑜𝑡𝑜))
3129, 30anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑡 → ((𝑥𝑝𝑝𝑜) ↔ (𝑥𝑡𝑡𝑜)))
3231rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜)) → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))
3327, 28, 32syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) ∧ (𝑡𝑏 ∧ (𝑥𝑡𝑡𝑜))) → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))
3433rexlimdvaa 3025 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (∃𝑡𝑏 (𝑥𝑡𝑡𝑜) → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))
3521, 34syl9r 78 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (∀𝑦𝑜𝑡𝑏 (𝑦𝑡𝑡𝑜) → (𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
3617, 35sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → (𝑜 ∈ (topGen‘𝑏) → (𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
3736ralrimiv 2959 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))
38 breq1 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → (𝑠 ≼ ω ↔ {𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω))
39 rexeq 3128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → (∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜) ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))
4039imbi2d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → ((𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)) ↔ (𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
4140ralbidv 2980 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
4238, 41anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {𝑞𝑏𝑥𝑞} → ((𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))) ↔ ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
4342rspcev 3295 . . . . . . . . 9 (({𝑞𝑏𝑥𝑞} ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏) ∧ ({𝑞𝑏𝑥𝑞} ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝 ∈ {𝑞𝑏𝑥𝑞} (𝑥𝑝𝑝𝑜)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
449, 15, 37, 43syl12anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω ∧ 𝑥 (topGen‘𝑏)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
45443expia 1264 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω) → (𝑥 (topGen‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
46 unieq 4412 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 (topGen‘𝑏) = 𝐽)
4746eleq2d 2684 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝑥 (topGen‘𝑏) ↔ 𝑥 𝐽))
48 pweq 4135 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → 𝒫 (topGen‘𝑏) = 𝒫 𝐽)
49 raleq 3127 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
5049anbi2d 739 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))) ↔ (𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
5148, 50rexeqbidv 3142 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
5247, 51imbi12d 334 . . . . . . 7 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((𝑥 (topGen‘𝑏) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (topGen‘𝑏)(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝑏)(𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))) ↔ (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))))
5345, 52syl5ibcom 235 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 ≼ ω) → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))))
5453expimpd 628 . . . . 5 (𝑏 ∈ TopBases → ((𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))))
5554rexlimiv 3020 . . . 4 (∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
562, 55sylbi 207 . . 3 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → (𝑥 𝐽 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
5756ralrimiv 2959 . 2 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ∀𝑥 𝐽𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜))))
58 eqid 2621 . . 3 𝐽 = 𝐽
5958is1stc2 21158 . 2 (𝐽 ∈ 1st𝜔 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑠 ≼ ω ∧ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜 → ∃𝑝𝑠 (𝑥𝑝𝑝𝑜)))))
601, 57, 59sylanbrc 697 1 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3556  𝒫 cpw 4132   cuni 4404   class class class wbr 4615  cfv 5849  ωcom 7015  cdom 7900  topGenctg 16022  Topctop 20620  TopBasesctb 20663  1st𝜔c1stc 21153  2nd𝜔c2ndc 21154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-dom 7904  df-topgen 16028  df-top 20621  df-bases 20664  df-1stc 21155  df-2ndc 21156
This theorem is referenced by:  dis1stc  21215
  Copyright terms: Public domain W3C validator