Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem11a 35211
 Description: Lemma for 4at 35217. Substitute 𝑈 for 𝑄. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem11a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem11a
StepHypRef Expression
1 simp11 1111 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp13 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝑄𝐴)
3 simp21 1114 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝑈𝐴)
4 hllat 34968 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp12 1112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝑃𝐴)
7 simp22 1115 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝑉𝐴)
8 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 10hlatjcl 34971 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑉𝐴) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
121, 6, 7, 11syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
13 simp23 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝑊𝐴)
148, 10atbase 34894 . . . . 5 (𝑊𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
168, 9latjcl 17098 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
175, 12, 15, 16syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
18 simp3 1083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
19 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
208, 19, 9, 10hlexchb2 34989 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑈𝐴 ∧ ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (𝑄 (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) = (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊))))
211, 2, 3, 17, 18, 20syl131anc 1379 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (𝑄 (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) = (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊))))
2219, 9, 104atlem4b 35204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
231, 6, 3, 7, 13, 22syl32anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
2423breq2d 4697 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ 𝑄 (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊))))
2519, 9, 104atlem4b 35204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = (𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
261, 6, 2, 7, 13, 25syl32anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = (𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
2726, 23eqeq12d 2666 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) = (𝑈 ((𝑃 𝑉) 𝑊))))
2821, 24, 273bitr4d 300 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-lat 17093  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956 This theorem is referenced by:  4atlem11b  35212
 Copyright terms: Public domain W3C validator