Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem6 9085
 Description: Lemma for ackbij2 9103. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6
StepHypRef Expression
1 inss1 3866 . . . . 5 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
21sseli 3632 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
31sseli 3632 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
4 elpwi 4201 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
5 elpwi 4201 . . . . 5 (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
6 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
7 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
86, 7unssd 3822 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
94, 5, 8syl2an 493 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
102, 3, 9syl2an 493 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
11 inss2 3867 . . . . . 6 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
1211sseli 3632 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1311sseli 3632 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
14 unfi 8268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
1512, 13, 14syl2an 493 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
16 elpwg 4199 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → ((𝐴𝐵) ∈ 𝒫 ω ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ω))
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐴𝐵) ∈ 𝒫 ω ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ω))
1810, 17mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝒫 ω)
1918, 15elind 3831 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ωcom 7107  Fincfn 7997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001 This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  9088  ackbij1lem18  9097
 Copyright terms: Public domain W3C validator