Theorem axregnd 4948

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregnd	⊢ (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y)))

Proof of Theorem axregnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1145	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀x ¬ ∀z z = x)
2		hbnae 1145	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀x ¬ ∀z z = y)
3	1, 2	hban 1007	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → ∀x(¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y))
4		hbnae 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀z ¬ ∀z z = x)
5		hbnae 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀z ¬ ∀z z = y)
6	4, 5	hban 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → ∀z(¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y))
7		dveel2 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀z z = x → (w ∈ x → ∀z w ∈ x))
8	7	adantr 389	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (w ∈ x → ∀z w ∈ x))
9		dveel2 1355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀z z = y → (w ∈ y → ∀z w ∈ y))
10	9	adantl 388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (w ∈ y → ∀z w ∈ y))
11	6, 10	hbnd 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (¬ w ∈ y → ∀z ¬ w ∈ y))
12	6, 8, 11	hbimd 1108	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → ((w ∈ x → ¬ w ∈ y) → ∀z(w ∈ x → ¬ w ∈ y)))
13		elequ1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = z → (w ∈ x ↔ z ∈ x))
14		elequ1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = z → (w ∈ y ↔ z ∈ y))
15	14	negbid 610	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = z → (¬ w ∈ y ↔ ¬ z ∈ y))
16	13, 15	imbi12d 625	. . . . . . . 8 ⊢ (w = z → ((w ∈ x → ¬ w ∈ y) ↔ (z ∈ x → ¬ z ∈ y)))
17	16	a1i 8	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (w = z → ((w ∈ x → ¬ w ∈ y) ↔ (z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
18	6, 12, 17	cbvald 1318	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (∀w(w ∈ x → ¬ w ∈ y) ↔ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y)))
19	18	anbi2d 615	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → ((x ∈ y ⋀ ∀w(w ∈ x → ¬ w ∈ y)) ↔ (x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
20	3, 19	exbid 1103	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (∃x(x ∈ y ⋀ ∀w(w ∈ x → ¬ w ∈ y)) ↔ ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
21		axregndlem2 4947	. . . 4 ⊢ (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀w(w ∈ x → ¬ w ∈ y)))
22	20, 21	syl5bi 208	. . 3 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = y) → (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
23	22	ex 373	. 2 ⊢ (¬ ∀z z = x → (¬ ∀z z = y → (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y)))))
24		axregndlem1 4946	. . 3 ⊢ (∀x x = z → (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
25	24	alequcoms 1141	. 2 ⊢ (∀z z = x → (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
26		hbae 1143	. . . 4 ⊢ (∀z z = y → ∀x∀z z = y)
27		elirrv 4590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ z ∈ z
28		elequ2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ z ∈ y))
29	27, 28	mtbii 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → ¬ z ∈ y)
30	29	a4s 982	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z z = y → ¬ z ∈ y)
31	30	a1d 12	. . . . . . 7 ⊢ (∀z z = y → (z ∈ x → ¬ z ∈ y))
32	31	a5i 987	. . . . . 6 ⊢ (∀z z = y → ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))
33	32	anim2i 335	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀z z = y) → (x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y)))
34	33	expcom 374	. . . 4 ⊢ (∀z z = y → (x ∈ y → (x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
35	26, 34	19.22d 1060	. . 3 ⊢ (∀z z = y → (∃x x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
36		19.8a 1027	. . 3 ⊢ (x ∈ y → ∃x x ∈ y)
37	35, 36	syl5 21	. 2 ⊢ (∀z z = y → (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y))))
38	23, 25, 37	pm2.61ii 130	1 ⊢ (x ∈ y → ∃x(x ∈ y ⋀ ∀z(z ∈ x → ¬ z ∈ y)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978

This theorem is referenced by:  zfcndreg 4961

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-15 1358  ax-ext 1457  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-reg 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409

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