Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragen0 39190
Description: The empty set belongs to any Caratheodory's construction. First part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragen0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragen0.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragen0 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragen0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragen0.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2610 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragen0.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 0elpw 4755 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 dom 𝑂
54a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6 in0 3920 . . . . . 6 (𝑎 ∩ ∅) = ∅
76fveq2i 6091 . . . . 5 (𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) = (𝑂‘∅)
8 dif0 3904 . . . . . 6 (𝑎 ∖ ∅) = 𝑎
98fveq2i 6091 . . . . 5 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅)) = (𝑂𝑎)
107, 9oveq12i 6539 . . . 4 ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎))
1110a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎)))
121ome0 39181 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘∅) = 0)
1413oveq1d 6542 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘∅) +𝑒 (𝑂𝑎)) = (0 +𝑒 (𝑂𝑎)))
15 iccssxr 12086 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
161adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
17 elpwi 4117 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
1916, 2, 18omecl 39187 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sseldi 3566 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2120xaddid2d 38270 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑂𝑎)) = (𝑂𝑎))
2211, 14, 213eqtrd 2648 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∅))) = (𝑂𝑎))
231, 2, 3, 5, 22carageneld 39186 1 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cdif 3537  cin 3539  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108   cuni 4367  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  +∞cpnf 9928  *cxr 9930   +𝑒 cxad 11779  [,]cicc 12008  OutMeascome 39173  CaraGenccaragen 39175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-xadd 11782  df-icc 12012  df-ome 39174  df-caragen 39176
This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  39199  caragenunicl  39208  caragensal  39209  caratheodory  39212
  Copyright terms: Public domain W3C validator