Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenfiiuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenfiiuncl 40036
Description: The Caratheodory's construction is closed under finite indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenfiiuncl.kph 𝑘𝜑
caragenfiiuncl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenfiiuncl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenfiiuncl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
caragenfiiuncl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenfiiuncl (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem caragenfiiuncl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4500 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑘𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 4543 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
32a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅)
41, 3eqtrd 2655 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝑘𝐴 𝐵 = ∅)
54adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝑘𝐴 𝐵 = ∅)
6 caragenfiiuncl.o . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
7 caragenfiiuncl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
86, 7caragen0 40027 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
105, 9eqeltrd 2698 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
11 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
12 neqne 2798 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
14 caragenfiiuncl.kph . . . . 5 𝑘𝜑
15 nfv 1840 . . . . 5 𝑘 𝐴 ≠ ∅
1614, 15nfan 1825 . . . 4 𝑘(𝜑𝐴 ≠ ∅)
17 caragenfiiuncl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1817adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1963ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
20 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥𝑆)
21 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2219, 7, 20, 21caragenuncl 40034 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
23223adant1r 1316 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
24 caragenfiiuncl.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2524adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
26 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
2716, 18, 23, 25, 26fiiuncl 38719 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
2811, 13, 27syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
2910, 28pm2.61dan 831 1 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  cun 3553  c0 3891   ciun 4485  cfv 5847  Fincfn 7899  OutMeascome 40010  CaraGenccaragen 40012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-xadd 11891  df-icc 12124  df-ome 40011  df-caragen 40013
This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  40042  carageniuncllem2  40043
  Copyright terms: Public domain W3C validator