Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunidm 40029
Description: The base set of an outer measure belongs to the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunidm.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunidm.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenunidm.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragenunidm (𝜑𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunidm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenunidm.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenunidm.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenunidm.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 dmexg 7044 . . . . 5 (𝑂 ∈ OutMeas → dom 𝑂 ∈ V)
5 uniexg 6908 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ V → dom 𝑂 ∈ V)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
72, 6syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 pwidg 4144 . . 3 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
10 elpwi 4140 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
11 df-ss 3569 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = 𝑎)
1211biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = 𝑎)
1413fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
1514adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂𝑎))
16 ssdif0 3916 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 ↔ (𝑎𝑋) = ∅)
1710, 16sylib 208 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑋) = ∅)
1817fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = (𝑂‘∅))
201ome0 40018 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝑋)) = 0)
2315, 22oveq12d 6622 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = ((𝑂𝑎) +𝑒 0))
24 iccssxr 12198 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
251adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
2610adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2725, 2, 26omecl 40024 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2824, 27sseldi 3581 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
2928xaddid1d 12017 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂𝑎) +𝑒 0) = (𝑂𝑎))
30 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) = (𝑂𝑎))
3123, 29, 303eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝑋)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑋))) = (𝑂𝑎))
321, 2, 3, 9, 31carageneld 40023 1 (𝜑𝑋𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   +𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12120  OutMeascome 40010  CaraGenccaragen 40012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-xadd 11891  df-icc 12124  df-ome 40011  df-caragen 40013
This theorem is referenced by:  caragenuni  40032  rrnmbl  40135
  Copyright terms: Public domain W3C validator