Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmt3N 33359
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 27644 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmt2.o = (oc‘𝐾)
cmt2.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmt3N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶𝑌))

Proof of Theorem cmt3N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cmt2.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
3 cmt2.c . . . 4 𝐶 = (cm‘𝐾)
41, 2, 3cmt2N 33358 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌𝐶𝑋𝑌𝐶( 𝑋)))
543com23 1262 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐶𝑋𝑌𝐶( 𝑋)))
61, 3cmtcomN 33357 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑌𝐶𝑋))
7 omlop 33349 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
873ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9 simp2 1054 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
101, 2opoccl 33302 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 690 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
121, 3cmtcomN 33357 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)𝐶𝑌𝑌𝐶( 𝑋)))
1311, 12syld3an2 1364 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)𝐶𝑌𝑌𝐶( 𝑋)))
145, 6, 133bitr4d 298 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑋)𝐶𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  Basecbs 15641  occoc 15722  OPcops 33280  cmccmtN 33281  OMLcoml 33283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-lat 16815  df-oposet 33284  df-cmtN 33285  df-ol 33286  df-oml 33287
This theorem is referenced by:  cmt4N  33360  omlspjN  33369
  Copyright terms: Public domain W3C validator