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Theorem dedekind 10185
Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 9999 with appropriate adjustments, states that, if 𝐴 completely preceeds 𝐵, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekind ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1841 . . . . . . . 8 𝑥(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
2 nfv 1841 . . . . . . . 8 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
3 nfra1 2938 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦
41, 2, 3nf3an 1829 . . . . . . 7 𝑥((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦)
5 nfv 1841 . . . . . . . 8 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6 nfra1 2938 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥
7 nfra1 2938 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)
86, 7nfan 1826 . . . . . . . 8 𝑥(∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))
95, 8nfan 1826 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))
104, 9nfan 1826 . . . . . 6 𝑥(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))))
11 nfv 1841 . . . . . . . . 9 𝑦(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
12 nfv 1841 . . . . . . . . 9 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
13 nfra2 2943 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦
1411, 12, 13nf3an 1829 . . . . . . . 8 𝑦((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦)
15 nfv 1841 . . . . . . . 8 𝑦(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))
1614, 15nfan 1826 . . . . . . 7 𝑦(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))))
17 nfv 1841 . . . . . . 7 𝑦 𝑥𝐴
18 simprrl 803 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥)
1918r19.21bi 2929 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑧 < 𝑥)
20 simpl2l 1112 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2120sselda 3595 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10168 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑥))
2419, 23mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑧)
2524ex 450 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥𝐴𝑥𝑧))
26 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦)
27 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ))
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
29 rsp 2926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝐵𝑥 < 𝑦))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐵 → (∀𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
32 ssel2 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3332adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ)
3635sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
37 ltnsym 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
3834, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
3931, 38syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
4039an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
4140ralimdva 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
4227, 28, 41syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
44 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑤))
4544notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑤))
4645cbvralv 3166 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
4743, 46sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
48 ralnex 2989 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)
4947, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → ¬ ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)
50 simp2r 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ⊆ ℝ)
51 ssel2 3590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
5250, 28, 51syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
53 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))
55 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑧𝑦 < 𝑧))
56 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑤𝑦 < 𝑤))
5756rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤))
5855, 57imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤) ↔ (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)))
5958rspcv 3300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)))
6052, 54, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤))
6149, 60mtod 189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
62 simprll 801 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
6362, 52lenltd 10168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑧))
6461, 63mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑧𝑦)
6564expr 642 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑦𝐵𝑧𝑦))
6625, 65anim12d 585 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
6766expd 452 . . . . . . 7 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥𝐴 → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑧𝑧𝑦))))
6816, 17, 67ralrimd 2956 . . . . . 6 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
6910, 68ralrimi 2954 . . . . 5 ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
70 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71 simp1l 1083 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
72 simp1r 1084 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
73 n0 3923 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
7472, 73sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 𝑧𝐵)
7550sseld 3594 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ ℝ))
76 ralcom 3093 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐴 𝑥 < 𝑦)
77 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑧))
7877ralbidv 2983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧))
7978rspccv 3301 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝐵𝑥𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧))
8076, 79sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑧𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧))
81803ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧))
8275, 81jcad 555 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧)))
8382eximdv 1844 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → (∃𝑧 𝑧𝐵 → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧)))
8474, 83mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧))
85 df-rex 2915 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧))
8684, 85sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧)
87 axsup 10098 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))
8870, 71, 86, 87syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤𝐴 𝑥 < 𝑤)))
8969, 88reximddv 3015 . . . 4 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
90893expib 1266 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
91 1re 10024 . . . . 5 1 ∈ ℝ
92 rzal 4064 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
93 breq2 4648 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑥𝑧𝑥 ≤ 1))
94 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
9593, 94anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → ((𝑥𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
96952ralbidv 2986 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
9796rspcev 3304 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
9891, 92, 97sylancr 694 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
9998a1d 25 . . 3 (𝐴 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
100 rzal 4064 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → ∀𝑦𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
101100ralrimivw 2964 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
10291, 101, 97sylancr 694 . . . 4 (𝐵 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
103102a1d 25 . . 3 (𝐵 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
10490, 99, 103pm2.61iine 2881 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
1051043impa 1257 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644  cr 9920  1c1 9922   < clt 10059  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065
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