MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dedekindle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dedekindle 10146
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1065 . . . 4 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 simpr2 1066 . . . 4 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
3 simp1 1059 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐴𝐵) = ∅)
4 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥𝐴)
5 disjel 4000 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
63, 4, 5syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ¬ 𝑥𝐵)
7 eleq1 2692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
87biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → (𝑦 = 𝑥𝑥𝐵))
98necon3bd 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝑥))
109ad2antll 764 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝑥))
116, 10mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦𝑥)
12 simp2 1060 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 ssel2 3583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1412, 4, 13syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
16 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
17 ssel2 3583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
1815, 16, 17syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1914, 18ltlend 10127 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2019biimprd 238 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦))
2111, 20mpan2d 709 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦))
2221ralimdvva 2963 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))
23223exp 1261 . . . . 5 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐵 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))))
24233imp2 1279 . . . 4 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦)
25 dedekind 10145 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
261, 2, 24, 25syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
2726ex 450 . 2 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
28 n0 3912 . . 3 ((𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝐵))
29 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
30 inss1 3816 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
3130sseli 3584 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤𝐴)
32 ssel2 3583 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
3329, 31, 32syl2an 494 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ)
34 nfv 1845 . . . . . . . . 9 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
35 nfv 1845 . . . . . . . . 9 𝑥 𝐵 ⊆ ℝ
36 nfra1 2941 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦
3734, 35, 36nf3an 1833 . . . . . . . 8 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)
38 nfv 1845 . . . . . . . 8 𝑥 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)
3937, 38nfan 1830 . . . . . . 7 𝑥((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵))
40 nfv 1845 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ
41 nfv 1845 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐵 ⊆ ℝ
42 nfra2 2946 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦
4340, 41, 42nf3an 1833 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)
44 nfv 1845 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)
4543, 44nfan 1830 . . . . . . . . 9 𝑦((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴))
46 rsp 2929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦))
47 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
4847sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤𝐵)
49 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑥𝑤))
5049rspccv 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑤𝐵𝑥𝑤))
5148, 50syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝑤))
5246, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝑤)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥𝐴𝑥𝑤)))
5453imp32 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑤)
55543ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑤)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝑤)
57 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)
5831adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤𝐴)
59 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
6059ralbidv 2985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝐵 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑤𝑦))
6160rspccva 3299 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑤𝐴) → ∀𝑦𝐵 𝑤𝑦)
6257, 58, 61syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → ∀𝑦𝐵 𝑤𝑦)
6362r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑤𝑦)
6456, 63jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝑤𝑤𝑦))
6564ex 450 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
6645, 65ralrimi 2956 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦))
6766expr 642 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
6839, 67ralrimi 2956 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦))
69 breq2 4622 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑥𝑧𝑥𝑤))
70 breq1 4621 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑤𝑦))
7169, 70anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑥𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
72712ralbidv 2988 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
7372rspcev 3300 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
7433, 68, 73syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
7574expcom 451 . . . 4 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
7675exlimiv 1860 . . 3 (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
7728, 76sylbi 207 . 2 ((𝐴𝐵) ≠ ∅ → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
7827, 77pm2.61ine 2879 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  cin 3559  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  cr 9880   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025
This theorem is referenced by:  axcontlem10  25748
  Copyright terms: Public domain W3C validator