Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmapsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmapsn 38878
 Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmapsn.a (𝜑𝐴𝑉)
difmapsn.b (𝜑𝐵𝑊)
difmapsn.v (𝜑𝐶𝑍)
Assertion
Ref Expression
difmapsn (𝜑 → ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3710 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶}))
21adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶}))
3 elmapi 7823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
43adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5 difmapsn.v . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝑍)
6 fsn2g 6359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
87adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
94, 8mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩}))
109simpld 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → (𝑓𝐶) ∈ 𝐴)
112, 10syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓𝐶) ∈ 𝐴)
12 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓𝐶) ∈ 𝐵)
139simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})
142, 13syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})
1612, 15jca 554 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩}))
17 fsn2g 6359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
185, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
2016, 19mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21 difmapsn.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑊)
2221ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵𝑊)
23 snex 4869 . . . . . . . . . . . 12 {𝐶} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
2522, 24elmapd 7816 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
2620, 25mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}))
27 eldifn 3711 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}))
2827ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}))
2926, 28pm2.65da 599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → ¬ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵)
3011, 29eldifd 3566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵))
3130, 14jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩}))
32 fsn2g 6359 . . . . . . . 8 (𝐶𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵) ↔ ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
335, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵) ↔ ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵) ↔ ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
3531, 34mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵))
36 difmapsn.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
37 difssd 3716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3836, 37ssexd 4765 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
3923a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
4038, 39elmapd 7816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵)))
4140adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵)))
4235, 41mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
4342ralrimiva 2960 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
44 dfss3 3573 . . 3 (((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
4543, 44sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
465snn0d 38743 . . 3 (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
4736, 21, 39, 46difmap 38873 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ⊆ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})))
4845, 47eqssd 3600 1 (𝜑 → ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148  ⟨cop 4154  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804 This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  40181  vonvolmbl  40182
 Copyright terms: Public domain W3C validator