Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigo2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbigo2r 42672
Description: Sufficient condition for a function to be of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigo2r (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elbigo2r
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
21imbi1d 330 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
32ralbidv 3015 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
4 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝐺𝑥)) = (𝑀 · (𝐺𝑥)))
54breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))
65imbi2d 329 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥)))))
76ralbidv 3015 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥)))))
83, 7rspc2ev 3355 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))))
983ad2ant3 1104 . 2 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥))))
10 elbigo2 42671 . . 3 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
11103adant3 1101 . 2 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺𝑥)))))
129, 11mpbird 247 1 (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973   · cmul 9979  cle 10113  Οcbigo 42666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ico 12219  df-bigo 42667
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator