Theorem elbigo2r 44633

Description: Sufficient condition for a function to be of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigo2r	⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elbigo2r

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5069	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝐶 ≤ 𝑥))
2	1	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
3	2	ralbidv 3197	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
4		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) = (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))
5	4	breq2d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))
6	5	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
7	6	ralbidv 3197	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))))
8	3, 7	rspc2ev 3635	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
9	8	3ad2ant3 1131	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥))))
10		elbigo2 44632	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
11	10	3adant3 1128	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑥)))))
12	9, 11	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝑀 · (𝐺‘𝑥))))) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   · cmul 10542   ≤ cle 10676  Οcbigo 44627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ico 12745  df-bigo 44628

This theorem is referenced by: (None)