MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo5 12228
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
elioo5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo5
StepHypRef Expression
1 elioo1 12212 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
213adant3 1080 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
3 3anass 1041 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
43baibr 945 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ* → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
543ad2ant3 1083 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
62, 5bitr4d 271 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037  wcel 1989   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  *cxr 10070   < clt 10071  (,)cioo 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-xr 10075  df-ioo 12176
This theorem is referenced by:  iooshf  12249  iooneg  12289  lhop1  23771  tan2h  33381  poimir  33422  ftc1anclem1  33465
  Copyright terms: Public domain W3C validator