MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhop1 23676
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If 𝐹 and 𝐺 are differentiable real functions on (𝐴, 𝐵), and 𝐹 and 𝐺 both approach 0 at 𝐴, and 𝐺(𝑥) and 𝐺' (𝑥) are not zero on (𝐴, 𝐵), and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐴 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐴 also exists and equals 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lhop1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lhop1.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
lhop1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.g (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.if (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.ig (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.f0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
lhop1.g0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
lhop1.gn0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
lhop1.gd0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
lhop1.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
lhop1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑟 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
2 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 11828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
4 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
54imbi2d 330 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑥 / 2) → (((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
65rexralbidv 3056 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑥 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
76rspcv 3296 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
83, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
9 rabid 3111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} ↔ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑))
10 eliooord 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑣𝑣 < 𝐵))
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑣𝑣 < 𝐵))
1211simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 < 𝐵)
1312biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < (𝑑 + 𝐴) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
14 ioossre 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2019rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ)
2216, 18, 21ltsubaddd 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣𝐴) < 𝑑𝑣 < (𝑑 + 𝐴)))
2316rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ*)
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2617ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2720, 26readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
2827rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
30 xrltmin 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
3213, 22, 313bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣𝐴) < 𝑑))
3318rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3425, 29ifcld 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*)
3511simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑣)
36 elioo5 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (𝐴 < 𝑣𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
3736baibd 947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝑣) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
3833, 34, 23, 35, 37syl31anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
3918, 16, 35ltled 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑣)
4018, 16, 39abssubge0d 14099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝑣𝐴)) = (𝑣𝐴))
4140breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑣𝐴) < 𝑑))
4232, 38, 413bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑))
4342rabbi2dva 3804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑})
4424ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45 xrmin1 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
4644, 28, 45syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
47 iooss2 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4844, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
49 sseqin2 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5048, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5143, 50eqtr3d 2662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5251eleq2d 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
539, 52syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
54 lbioo 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
55 eleq1 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5654, 55mtbiri 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5756necon2ai 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦𝐴)
5857biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑)))
5958bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) ↔ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑))
60 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
61 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
6260, 61oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
63 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
64 ovex 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt3i 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
6665oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶) = ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶))
6766fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)))
6867breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
6959, 68imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
7069ralbiia 2978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
71 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣𝐴) = (𝑦𝐴))
7271fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑦 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝑦𝐴)))
7372breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑦 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑))
7473ralrab 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
7570, 74bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))
7651adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
7776raleqdv 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
7817ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7924ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
80 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 < 𝐵)
8180ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < 𝐵)
82 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8382ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
84 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8584ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
86 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8786ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
88 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
8988ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
90 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
9190ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
92 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
9392ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
94 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
9594ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
96 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
9796ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
981ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
993adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
10078rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
101 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102101rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ)
103102, 78readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
104 iocssre 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ)
105100, 103, 104syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ)
10679adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
107102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10878adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
109107, 108readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
110109rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
111106, 110ifclda 4097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*)
11278, 101ltaddrp2d 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < (𝑑 + 𝐴))
113103rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
114 xrltmin 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < (𝑑 + 𝐴))))
115100, 79, 113, 114syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < (𝑑 + 𝐴))))
11681, 112, 115mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))
117 xrmin2 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))
11879, 113, 117syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))
119 elioc1 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))))
120100, 113, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))))
121111, 116, 118, 120mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)))
122105, 121sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ)
12379, 113, 45syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
124 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
125 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))
126 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 + (𝑟 / 2)) = (𝐴 + (𝑟 / 2))
12778, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 98, 99, 122, 123, 124, 125, 126lhop1lem 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < (2 · (𝑥 / 2)))
1282rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
129 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
130 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≠ 0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
132128, 129, 131divcan2d 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥)
134127, 133breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)
135134expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
13677, 135sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
13775, 136syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
138137expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
13953, 138sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
140139expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
141 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑣 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑣))
142 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑣 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑣))
143141, 142oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑣 → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) = ((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)))
144 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
145 ovex 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ V
146143, 144, 145fvmpt3i 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) = ((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)))
147146oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶) = (((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶))
148147fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)))
149148breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
150149imbi2d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
151150adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
152140, 151sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
153152adantld 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
154153com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
155154ralrimdva 2968 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
156155reximdva 3016 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
1578, 156syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
158157ralrimdva 2968 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
159158anim2d 588 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))))
160 dvf 23572 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16186feq2d 5990 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
162160, 161mpbii 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
163162ffvelrnda 6316 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
164 dvf 23572 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
16588feq2d 5990 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
166164, 165mpbii 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
167166ffvelrnda 6316 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
16896adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
169 ffn 6004 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
170166, 169syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
171 fnfvelrn 6313 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
172170, 171sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
173 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
174172, 173syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
175174necon3bd 2810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0))
176168, 175mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0)
177163, 167, 176divcld 10746 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ)
178177, 63fmptd 6341 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
179 ax-resscn 9938 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
18014, 179sstri 3597 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
181180a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
18217recnd 10013 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
183178, 181, 182ellimc3 23544 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒))))
18482ffvelrnda 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
185184recnd 10013 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
18684ffvelrnda 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
187186recnd 10013 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18894adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
189 ffn 6004 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
19084, 189syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
191 fnfvelrn 6313 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
192190, 191sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
193 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) = 0 → ((𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
194192, 193syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
195194necon3bd 2810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺𝑧) ≠ 0))
196188, 195mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ≠ 0)
197185, 187, 196divcld 10746 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
198197, 144fmptd 6341 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
199198, 181, 182ellimc3 23544 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))))
200159, 183, 1993imtr4d 283 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴)))
2011, 200mpd 15 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  cin 3559  wss 3560  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  +crp 11776  (,)cioo 12114  (,]cioc 12115  abscabs 13903   lim climc 23527   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  lhop2  23677  lhop  23678  fourierdlem61  39678
  Copyright terms: Public domain W3C validator