Theorem tan2h 34899

Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tan2h	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10643	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		pire 25044	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 10699	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ*
4		icossre 12818	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)π) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	halfcld 11883	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	6	rehalfcld 11885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
10	9	rered 14583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11		elico2 12801	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
12	1, 3, 11	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
13		pipos 25046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
14		lt0neg2 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
16	13, 15	mpbi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π < 0
17	2	renegcli 10947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
18		ltletr 10732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
19	17, 1, 18	mp3an12 1447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
20	16, 19	mpani 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21		2re 11712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24		ltdiv1 11504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
25	17, 23, 24	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26		picn 25045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
27		2cn 11713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 11742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
29		divneg 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
30	26, 27, 28, 29	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
31	30	breq1i 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
32	25, 31	syl6bbr 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
33	20, 32	sylibd 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34		ltdiv1 11504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
35	2, 23, 34	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
36	35	biimpd 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	anim12d 610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38		rehalfcl 11864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 10691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40		halfpire 25050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
41	40	renegcli 10947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
42	41	rexri 10699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
43	40	rexri 10699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
44		elioo5 12795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
45	42, 43, 44	mp3an12 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
46	39, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
47	37, 46	sylibrd 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48	47	3impib 1112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
49	12, 48	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	10, 49	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		cosne0 25114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
52	8, 50, 51	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53		tanval 15481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
54	8, 52, 53	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55		0xr 10688	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56		elico1 12782	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
57	55, 3, 56	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
58	21, 2	remulcli 10657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
59	58	rexri 10699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
60		1lt2 11809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
61		ltmulgt12 11501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
62	2, 21, 13, 61	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
63	60, 62	mpbi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
64		xrlttr 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
65	3, 64	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
66	63, 65	mpan2i 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67		xrltle 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
68	66, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
69	59, 68	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
70	69	anim2d 613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
71		elicc4 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
72	55, 59, 71	mp3an12 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
73	70, 72	sylibrd 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74	73	3impib 1112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
75	57, 74	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76		sin2h 34897	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
77	75, 76	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
78	1, 2, 13	ltleii 10763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
79		le0neg2 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
80	2, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
81	78, 80	mpbi 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ≤ 0
82	17	rexri 10699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
83		xrletr 12552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
84	82, 55, 83	mp3an12 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
85	81, 84	mpani 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86		xrltle 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
87	3, 86	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
88	85, 87	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
89		elicc4 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
90	82, 3, 89	mp3an12 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
91	88, 90	sylibrd 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92	91	3impib 1112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
93	57, 92	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94		cos2h 34898	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
96	77, 95	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
97	54, 96	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98		1re 10641	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	6	recoscld 15497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100		resubcl 10950	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102	101	rehalfcld 11885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103		cosbnd 15534	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104	103	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105		recoscl 15494	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106		subge0 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107		halfnneg2 11869	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108	100, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109	106, 108	bitr3d 283	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
110	98, 105, 109	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111	104, 110	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
112	6, 111	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113		readdcl 10620	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
114	98, 99, 113	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115	103	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
116	98	renegcli 10947	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
117		subge0 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118	105, 116, 117	sylancl 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119		recn 10627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120	119	coscld 15484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
122		subneg 10935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123		addcom 10826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124	122, 123	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125	120, 121, 124	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126	125	breq2d 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127	118, 126	bitr3d 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128	115, 127	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
129	6, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130		snunioo 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
131	55, 3, 13, 130	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132	131	eleq2i 2904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133		elun 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134	132, 133	bitr3i 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135		elsni 4584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137		cos0 15503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
138	136, 137	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139	138	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140		df-2 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	139, 140	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
142	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143	141, 142	eqnetrd 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144	135, 143	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145		sinq12gt0 25093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146		ltne 10737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
147	1, 146	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148		elioore 12769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149	148	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152		df-neg 10873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 = (0 − 1)
153	152	eqeq1i 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154		coscl 15480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155		0cn 10633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
156		subadd 10889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157	155, 121, 156	mp3an12 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158	154, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159	153, 158	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160		sincl 15479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161	160	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162		0cnd 10634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163	154	sqcld 13509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164	161, 162, 163	addcan2d 10844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165		sincossq 15529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166		neg1sqe1 13560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1↑2) = 1
167	165, 166	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168	163	addid2d 10841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169	167, 168	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170		sqeq0 13487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171	160, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172	164, 169, 171	3bitr3d 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173	151, 159, 172	3imtr3d 295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174	149, 173	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175	174	necon3d 3037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176	147, 175	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177	145, 176	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178	144, 177	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179	134, 178	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180	114, 129, 179	ne0gt0d 10777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181	114, 180	elrpd 12429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182	181	rphalfcld 12444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183	102, 112, 182	sqrtdivd 14783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
184	7	coscld 15484	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185		subcl 10885	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	121, 184, 185	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187		addcl 10619	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188	121, 184, 187	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189		2cnne0 11848	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190		divcan7 11349	. . . . 5 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191	189, 190	mp3an3 1446	. . . 4 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192	186, 188, 179, 191	syl12anc 834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193	192	fveq2d 6674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
194	97, 183, 193	3eqtr2d 2862	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936  {csn 4567   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  2c2 11693  (,)cioo 12739  [,)cico 12741  [,]cicc 12742  ↑cexp 13430  ℜcre 14456  √csqrt 14592  sincsin 15417  cosccos 15418  tanctan 15419  πcpi 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-tan 15425  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465

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