MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dmex 7121
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 4762. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 6088 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 frn 6040 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
4 ssexg 4795 . . . . 5 ((ran 𝐹𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
53, 4sylan 488 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
65ex 450 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
7 f1cnv 6147 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
8 f1ofo 6131 . . . 4 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
97, 8syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
10 fornex 7120 . . 3 (ran 𝐹 ∈ V → (𝐹:ran 𝐹onto𝐴𝐴 ∈ V))
116, 9, 10syl6ci 71 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 ∈ V))
1211imp 445 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567  ccnv 5103  ran crn 5105  wf 5872  1-1wf1 5873  ontowfo 5874  1-1-ontowf1o 5875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884
This theorem is referenced by:  f1ovv  7122  f1domg  7960  ordtypelem10  8417  oiexg  8425  inf3lem7  8516  pwfseqlem4  9469  pwfseqlem5  9470  grothomex  9636  gsumzf1o  18294  dprdf1o  18412  f1lindf  20142  tsmsf1o  21929  diophrw  37141
  Copyright terms: Public domain W3C validator