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Theorem f1otrg 25651
Description: A bijection between bases which conserves distances and intervals conserves also geometries. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1otrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
f1otrkg.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
f1otrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
f1otrkg.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
f1otrkg.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
f1otrkg.j 𝐽 = (Itv‘𝐻)
f1otrkg.f (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
f1otrkg.1 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
f1otrkg.2 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
f1otrg.h (𝜑𝐻𝑉)
f1otrg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
f1otrg.l (𝜑 → (LineG‘𝐻) = (𝑥𝐵, 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐽𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))}))
Assertion
Ref Expression
f1otrg (𝜑𝐻 ∈ TarskiG)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐷,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝐹,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝐼,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝑒,𝐽,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑒,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑒,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑔)   𝐼(𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem f1otrg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑖 𝑝 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1otrg.h . . . . . 6 (𝜑𝐻𝑉)
2 elex 3198 . . . . . 6 (𝐻𝑉𝐻 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ V)
4 f1otrkg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 f1otrkg.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝐺)
6 f1otrkg.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7 f1otrg.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 f1otrkg.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
10 f1of 6094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝐵𝑃)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐵𝑃)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵𝑃)
13 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
1412, 13ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
15 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
1612, 15ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
174, 5, 6, 8, 14, 16axtgcgrrflx 25261 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑥)))
18 f1otrkg.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐻)
19 f1otrkg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (dist‘𝐻)
20 f1otrkg.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (Itv‘𝐻)
219adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
22 f1otrkg.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
2322adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
24 f1otrkg.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
2524adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
264, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 13, 15f1otrgds 25649 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐸𝑦) = ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)))
274, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 15, 13f1otrgds 25649 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦𝐸𝑥) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑥)))
2817, 26, 273eqtr4d 2665 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥))
2928ralrimivva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥))
30 f1of1 6093 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝐵1-1𝑃)
319, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝑃)
32313ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐹:𝐵1-1𝑃)
33 simp21 1092 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑥𝐵)
34 simp22 1093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑦𝐵)
3533, 34jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
3673ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37113ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐹:𝐵𝑃)
3837, 33ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
3937, 34ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
40 simp23 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑧𝐵)
4137, 40ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑃)
42 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧))
4393ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
44223ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
45243ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
464, 5, 6, 18, 19, 20, 43, 44, 45, 33, 34f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑥𝐸𝑦) = ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)))
474, 5, 6, 18, 19, 20, 43, 44, 45, 40, 40f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝑧𝐸𝑧) = ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑧)))
4842, 46, 473eqtr3d 2663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑧)))
494, 5, 6, 36, 38, 39, 41, 48axtgcgrid 25262 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
50 f1veqaeq 6468 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐵1-1𝑃 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
5150imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐵1-1𝑃 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
5232, 35, 49, 51syl21anc 1322 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧)) → 𝑥 = 𝑦)
53523expia 1264 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
5453ralrimivvva 2966 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
5529, 54jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
5618, 19, 20istrkgc 25253 . . . . 5 (𝐻 ∈ TarskiGC ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐸𝑦) = (𝑦𝐸𝑥) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑧𝐸𝑧) → 𝑥 = 𝑦))))
573, 55, 56sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ TarskiGC)
5893ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
5958, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝐹:𝐵1-1𝑃)
60 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
6173ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62143adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
63163adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
64 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥))
65223ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
66243ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
67133adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑥𝐵)
68153adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑦𝐵)
694, 5, 6, 18, 19, 20, 58, 65, 66, 67, 67, 68f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑥))))
7064, 69mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑥)))
714, 5, 6, 61, 62, 63, 70axtgbtwnid 25265 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
7259, 60, 71, 51syl21anc 1322 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥)) → 𝑥 = 𝑦)
73723expia 1264 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
7473ralrimivva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
75 f1ocnv 6106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝑃1-1-onto𝐵)
76 f1of 6094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑃1-1-onto𝐵𝐹:𝑃𝐵)
779, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑃𝐵)
7877ad5antr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝐹:𝑃𝐵)
79 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑐𝑃)
8078, 79ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐵)
81 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ 𝑎 = (𝐹𝑐)) → 𝑎 = (𝐹𝑐))
8281eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ 𝑎 = (𝐹𝑐)) → (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ↔ (𝐹𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦)))
8381eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ 𝑎 = (𝐹𝑐)) → (𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥) ↔ (𝐹𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
8482, 83anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ 𝑎 = (𝐹𝑐)) → ((𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥)) ↔ ((𝐹𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
85 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)))
8621ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
8786ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
88 f1ocnvfv2 6487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑐𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
8988eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑐𝑃) → ((𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦))))
9087, 79, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → ((𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦))))
9185, 90mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)))
92 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
93 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
9493, 23sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
9592, 94sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
96 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
97 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
9897, 25sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
9996, 98sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
100 simplr2 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑢𝐵)
101100ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑢𝐵)
10215ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑦𝐵)
103102ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑦𝐵)
1044, 5, 6, 18, 19, 20, 87, 95, 99, 101, 103, 80f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → ((𝐹𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦))))
10591, 104mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → (𝐹𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦))
106 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))
10788eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑐𝑃) → ((𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥))))
10887, 79, 107syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → ((𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥))))
109106, 108mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))
110 simplr3 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑣𝐵)
111110ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑣𝐵)
11213ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑥𝐵)
113112ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → 𝑥𝐵)
1144, 5, 6, 18, 19, 20, 87, 95, 99, 111, 113, 80f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → ((𝐹𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥))))
115109, 114mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → (𝐹𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥))
116105, 115jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → ((𝐹𝑐) ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
11780, 84, 116rspcedvd 3302 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥)))) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
1188ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11912ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝐹:𝐵𝑃)
120119, 112ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
121119, 102ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
122 simplr1 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑧𝐵)
123119, 122ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑃)
124119, 100ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑢) ∈ 𝑃)
125119, 110ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑃)
126 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧))
1274, 5, 6, 18, 19, 20, 86, 94, 98, 112, 122, 100f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ↔ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑧))))
128126, 127mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑢) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑧)))
129 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
1304, 5, 6, 18, 19, 20, 86, 94, 98, 102, 122, 110f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↔ (𝐹𝑣) ∈ ((𝐹𝑦)𝐼(𝐹𝑧))))
131129, 130mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝐹𝑣) ∈ ((𝐹𝑦)𝐼(𝐹𝑧)))
1324, 5, 6, 118, 120, 121, 123, 124, 125, 128, 131axtgpasch 25266 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → ∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ ((𝐹𝑢)𝐼(𝐹𝑦)) ∧ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑣)𝐼(𝐹𝑥))))
133117, 132r19.29a 3071 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥)))
134133ex 450 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵)) → ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
135134ralrimivvva 2966 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
136135ralrimivva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))))
1379ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
138 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑐𝑃)
139137, 138, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
140 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐵𝑃𝐹 Fn 𝐵)
141137, 10, 1403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝐹 Fn 𝐵)
142 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵))
143142simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
144143elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑠𝐵)
145144adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑠𝐵)
146 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑥𝑠)
147 fnfvima 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐵𝑠𝐵𝑥𝑠) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑠))
148141, 145, 146, 147syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑠))
149142simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
150149elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑡𝐵)
151150adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑡𝐵)
152 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑦𝑡)
153 fnfvima 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐵𝑡𝐵𝑦𝑡) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑡))
154141, 151, 152, 153syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑡))
155 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓))
156 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝐹𝑥) → (𝑒𝐼𝑓) = ((𝐹𝑥)𝐼𝑓))
157156eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝐹𝑥) → (𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑓)))
158 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑥)𝐼𝑓) = ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦)))
159158eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝐹𝑦) → (𝑐 ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑓) ↔ 𝑐 ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦))))
160157, 159rspc2va 3307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑡)) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → 𝑐 ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦)))
161148, 154, 155, 160syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑐 ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦)))
162139, 161eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦)))
1639ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
164 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → 𝜑)
165164, 22sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
166 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝜑)
167166, 24sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
168 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑥𝑠)
169144, 168sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑥𝐵)
170 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑦𝑡)
171150, 170sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑦𝐵)
17277ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝐹:𝑃𝐵)
173 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → 𝑐𝑃)
174172, 173ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐵)
1754, 5, 6, 18, 19, 20, 163, 165, 167, 169, 171, 174f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → ((𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦))))
176175adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → ((𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑐)) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑦))))
177162, 176mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) ∧ (𝑥𝑠𝑦𝑡)) → (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦))
178177ralrimivva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦))
179178adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦))
18077ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) → 𝐹:𝑃𝐵)
181 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑐𝑃)
182180, 181ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐵)
183 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝐹𝑐) → (𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
1841832ralbidv 2983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝐹𝑐) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
185184adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑏 = (𝐹𝑐)) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
186182, 185rspcedv 3299 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑡 (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
187186adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑡 (𝐹𝑐) ∈ (𝑥𝐽𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
188179, 187mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ ∀𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓)) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
1897ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
190 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑠) ⊆ ran 𝐹
191 f1ofo 6101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝐹:𝐵onto𝑃)
192 forn 6075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵onto𝑃 → ran 𝐹 = 𝑃)
1939, 191, 1923syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑃)
194193ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ran 𝐹 = 𝑃)
195190, 194syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑃)
196 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑡) ⊆ ran 𝐹
197196, 194syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹𝑡) ⊆ 𝑃)
19811ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → 𝐹:𝐵𝑃)
199 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → 𝑎𝐵)
200198, 199ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑃)
2019ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
202 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑃𝐵𝐹 Fn 𝑃)
203201, 75, 76, 2024syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝐹 Fn 𝑃)
204195ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑃)
205 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑢 ∈ (𝐹𝑠))
206 fnfvima 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝑃 ∧ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑃𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹 “ (𝐹𝑠)))
207203, 204, 205, 206syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹 “ (𝐹𝑠)))
208201, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝐹:𝐵1-1𝑃)
209 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵))
210209simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
211210elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑠𝐵)
212 f1imacnv 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝐵1-1𝑃𝑠𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑠)) = 𝑠)
213208, 211, 212syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹 “ (𝐹𝑠)) = 𝑠)
214207, 213eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝑠)
215197ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑡) ⊆ 𝑃)
216 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑡))
217 fnfvima 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝑃 ∧ (𝐹𝑡) ⊆ 𝑃𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹 “ (𝐹𝑡)))
218203, 215, 216, 217syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹 “ (𝐹𝑡)))
219209simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
220219elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑡𝐵)
221 f1imacnv 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝐵1-1𝑃𝑡𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) = 𝑡)
222208, 220, 221syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) = 𝑡)
223218, 222eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑡)
224 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦))
225 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) ↔ (𝐹𝑢) ∈ (𝑎𝐽𝑦)))
226 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐹𝑣) → (𝑎𝐽𝑦) = (𝑎𝐽(𝐹𝑣)))
227226eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐹𝑣) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝑎𝐽𝑦) ↔ (𝐹𝑢) ∈ (𝑎𝐽(𝐹𝑣))))
228225, 227rspc2va 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑢) ∈ 𝑠 ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝑡) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝑎𝐽(𝐹𝑣)))
229214, 223, 224, 228syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑢) ∈ (𝑎𝐽(𝐹𝑣)))
230 simp-6l 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → 𝜑)
231230, 22sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
232 simp-6l 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝜑)
233232, 24sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
234 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑎𝐵)
235215, 216sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑣𝑃)
236 f1ocnvdm 6494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑣𝑃) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
237201, 235, 236syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
238204, 205sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑢𝑃)
239 f1ocnvdm 6494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑢𝑃) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
240201, 238, 239syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
2414, 5, 6, 18, 19, 20, 201, 231, 233, 234, 237, 240f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → ((𝐹𝑢) ∈ (𝑎𝐽(𝐹𝑣)) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑢)) ∈ ((𝐹𝑎)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑣)))))
242229, 241mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹‘(𝐹𝑢)) ∈ ((𝐹𝑎)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑣))))
243 f1ocnvfv2 6487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑢𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑢)) = 𝑢)
244201, 238, 243syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹‘(𝐹𝑢)) = 𝑢)
245 f1ocnvfv2 6487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑣𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑣)) = 𝑣)
246201, 235, 245syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → (𝐹‘(𝐹𝑣)) = 𝑣)
247246oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → ((𝐹𝑎)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑣))) = ((𝐹𝑎)𝐼𝑣))
248242, 244, 2473eltr3d 2712 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑢 ∈ ((𝐹𝑎)𝐼𝑣))
2492483impa 1256 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑡)) → 𝑢 ∈ ((𝐹𝑎)𝐼𝑣))
2504, 5, 6, 189, 195, 197, 200, 249axtgcont 25268 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ∃𝑐𝑃𝑒 ∈ (𝐹𝑠)∀𝑓 ∈ (𝐹𝑡)𝑐 ∈ (𝑒𝐼𝑓))
251188, 250r19.29a 3071 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
252251r19.29an 3070 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) ∧ ∃𝑎𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦)) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
253252ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (∃𝑎𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
254253ralrimivva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(∃𝑎𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))
25574, 136, 2543jca 1240 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(∃𝑎𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦))))
25618, 19, 20istrkgb 25254 . . . . 5 (𝐻 ∈ TarskiGB ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑣𝐵 ((𝑢 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ∃𝑎𝐵 (𝑎 ∈ (𝑢𝐽𝑦) ∧ 𝑎 ∈ (𝑣𝐽𝑥))) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(∃𝑎𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑥 ∈ (𝑎𝐽𝑦) → ∃𝑏𝐵𝑥𝑠𝑦𝑡 𝑏 ∈ (𝑥𝐽𝑦)))))
2573, 255, 256sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ TarskiGB)
25857, 257elind 3776 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (TarskiGC ∩ TarskiGB))
2597ad9antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26011ad9antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝐹:𝐵𝑃)
261 simp-9r 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑥𝐵)
262260, 261ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
263 simp-8r 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑦𝐵)
264260, 263ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
265 simp-7r 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑧𝐵)
266260, 265ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑃)
267 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑎𝐵)
268260, 267ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑃)
269 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑏𝐵)
270260, 269ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑏) ∈ 𝑃)
271 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑐𝐵)
272260, 271ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑐) ∈ 𝑃)
273 simp-6r 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑢𝐵)
274260, 273ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑢) ∈ 𝑃)
275 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑣𝐵)
276260, 275ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑃)
2779ad9antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
278277, 261jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵))
279 simprl1 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑥𝑦)
280 dff1o6 6485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝑃 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
281280simp3bi 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑃 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
282281r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
283282r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
284283necon3d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
285284imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
286278, 263, 279, 285syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
287 simprl2 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))
28822ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑒𝐵𝑓𝐵) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓))))
289288ad9antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑒𝐵𝑓𝐵) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓))))
290289imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
29124ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓)))))
292291ad9antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓)))))
293292imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
2944, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 261, 265, 263f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ↔ (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑧))))
295287, 294mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹𝑧)))
296 simprl3 1106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐))
2974, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 267, 271, 269f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐) ↔ (𝐹𝑏) ∈ ((𝐹𝑎)𝐼(𝐹𝑐))))
298296, 297mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝐹𝑏) ∈ ((𝐹𝑎)𝐼(𝐹𝑐)))
299 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))
300299simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)))
301300simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏))
3024, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 261, 263f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑦) = ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)))
3034, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 267, 269f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑎𝐸𝑏) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
304301, 302, 3033eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
305300simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐))
3064, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 263, 265f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑧) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)))
3074, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 269, 271f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑏𝐸𝑐) = ((𝐹𝑏)𝐷(𝐹𝑐)))
308305, 306, 3073eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑏)𝐷(𝐹𝑐)))
309299simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))
310309simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣))
3114, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 261, 273f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑥𝐸𝑢) = ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑢)))
3124, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 267, 275f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑎𝐸𝑣) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑣)))
313310, 311, 3123eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑣)))
314309simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))
3154, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 263, 273f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑦𝐸𝑢) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑢)))
3164, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 269, 275f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑏𝐸𝑣) = ((𝐹𝑏)𝐷(𝐹𝑣)))
317314, 315, 3163eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑏)𝐷(𝐹𝑣)))
3184, 5, 6, 259, 262, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 276, 286, 295, 298, 304, 308, 313, 317axtg5seg 25264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑣)))
3194, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 265, 273f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑧𝐸𝑢) = ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑢)))
3204, 5, 6, 18, 19, 20, 277, 290, 293, 271, 275f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑐𝐸𝑣) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑣)))
321318, 319, 3203eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣))))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣))
322321ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
323322ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ∀𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
324323ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → ∀𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
325324ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑎𝐵) → ∀𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
326325ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
327326ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑢𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
328327ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵𝑢𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
329328ralrimiva 2960 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
330329ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)))
331 simp-4l 805 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝜑)
332 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝑤𝑃)
333 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤))
334331, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝑃)
335 f1ocnvfv2 6487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝑃𝑤𝑃) → (𝐹‘(𝐹𝑤)) = 𝑤)
336334, 332, 335syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝐹‘(𝐹𝑤)) = 𝑤)
337336oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑤))) = ((𝐹𝑥)𝐼𝑤))
338333, 337eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑤))))
339331, 22sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵)) → (𝑒𝐸𝑓) = ((𝐹𝑒)𝐷(𝐹𝑓)))
340331, 24sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) ∧ (𝑒𝐵𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑒𝐽𝑓) ↔ (𝐹𝑔) ∈ ((𝐹𝑒)𝐼(𝐹𝑓))))
34113ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝑥𝐵)
34277ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑃) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
343331, 332, 342syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
34415ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝑦𝐵)
3454, 5, 6, 18, 19, 20, 334, 339, 340, 341, 343, 344f1otrgitv 25650 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤)) ↔ (𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼(𝐹‘(𝐹𝑤)))))
346338, 345mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤)))
3474, 5, 6, 18, 19, 20, 334, 339, 340, 344, 343f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑤))))
348336oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑤))) = ((𝐹𝑦)𝐷𝑤))
349 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
350347, 348, 3493eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
351 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
352351ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝑎𝐵)
353 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
354353ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → 𝑏𝐵)
3554, 5, 6, 18, 19, 20, 334, 339, 340, 352, 354f1otrgds 25649 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝑎𝐸𝑏) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
356350, 355eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))
357 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑥𝐽𝑧) = (𝑥𝐽(𝐹𝑤)))
358357eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤))))
359 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝐸𝑧) = (𝑦𝐸(𝐹𝑤)))
360359eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐹𝑤) → ((𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏) ↔ (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏)))
361358, 360anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑤) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))))
362361adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤𝑃) ∧ 𝑧 = (𝐹𝑤)) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))))
363342, 362rspcedv 3299 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑃) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏)) → ∃𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏))))
364363imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑥𝐽(𝐹𝑤)) ∧ (𝑦𝐸(𝐹𝑤)) = (𝑎𝐸𝑏))) → ∃𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
365331, 332, 346, 356, 364syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑤𝑃) ∧ ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))) → ∃𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
3668adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
36714adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑃)
36816adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑃)
36912adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐹:𝐵𝑃)
370369, 351ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑃)
371369, 353ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝑃)
3724, 5, 6, 366, 367, 368, 370, 371axtgsegcon 25263 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑤𝑃 ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐹𝑥)𝐼𝑤) ∧ ((𝐹𝑦)𝐷𝑤) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏))))
373365, 372r19.29a 3071 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∃𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
374373ralrimivva 2965 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
375374ralrimivva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))
3763, 330, 375jca32 557 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))))
37718, 19, 20istrkgcb 25255 . . . . 5 (𝐻 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑢𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵𝑣𝐵 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐽𝑐)) ∧ (((𝑥𝐸𝑦) = (𝑎𝐸𝑏) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑏𝐸𝑐)) ∧ ((𝑥𝐸𝑢) = (𝑎𝐸𝑣) ∧ (𝑦𝐸𝑢) = (𝑏𝐸𝑣)))) → (𝑧𝐸𝑢) = (𝑐𝐸𝑣)) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵𝑧𝐵 (𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧) ∧ (𝑦𝐸𝑧) = (𝑎𝐸𝑏)))))
378376, 377sylibr 224 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ TarskiGCB)
379 f1otrg.l . . . . 5 (𝜑 → (LineG‘𝐻) = (𝑥𝐵, 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐽𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))}))
38018, 19, 20istrkgl 25257 . . . . 5 (𝐻 ∈ {𝑓[(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})} ↔ (𝐻 ∈ V ∧ (LineG‘𝐻) = (𝑥𝐵, 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐽𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐽𝑧))})))
3813, 379, 380sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ {𝑓[(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
382378, 381elind 3776 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (TarskiGCB ∩ {𝑓[(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
383258, 382elind 3776 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓[(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})))
384 df-trkg 25252 . 2 TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓[(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
385383, 384syl6eleqr 2709 1 (𝜑𝐻 ∈ TarskiG)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  [wsbc 3417  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  ccnv 5073  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  1-1wf1 5844  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  TarskiGCcstrkgc 25230  TarskiGBcstrkgb 25231  TarskiGCBcstrkgcb 25232  Itvcitv 25235  LineGclng 25236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252
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