MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1vrnfibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1vrnfibi 8195
Description: A 1-1 function (set) is finite if and only if its range is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1vrnfibi ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1dm 6062 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2 dmexg 7044 . . . . 5 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
43eqcoms 2629 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
52, 4syl5ibr 236 . . . 4 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹𝑉𝐴 ∈ V))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝑉𝐴 ∈ V))
76impcom 446 . 2 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 f1dmvrnfibi 8194 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
97, 8sylancom 700 1 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  dom cdm 5074  ran crn 5075  1-1wf1 5844  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  negfi  10915  usgredgffibi  26104
  Copyright terms: Public domain W3C validator