Theorem fimax2g 8247

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimax2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5081	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		cnvpo 5711	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴)
3	1, 2	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ◡𝑅 Po 𝐴)
4		frfi 8246	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
5	3, 4	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
6	5	3adant3 1101	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
7		ssid 3657	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
8		fri 5105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
9	7, 8	mpanr1 719	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
10	9	an32s 863	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
11		vex 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
14	13	notbii 309	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
15	14	ralbii 3009	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
16	15	rexbii 3070	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
17	10, 16	sylib 208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
18	17	ex 449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	18	3adant1 1099	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   Po wpo 5062   Or wor 5063   Fr wfr 5099  ^◡ccnv 5142  Fincfn 7997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001

This theorem is referenced by:  fimaxg  8248  ordunifi  8251  npomex  9856