MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcnvres 6128
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 5279 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 df-rn 5277 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
31, 2eqtri 2782 . . 3 (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
43reseq2i 5548 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴))
5 resss 5580 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
6 cnvss 5450 . . . 4 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
8 funssres 6091 . . 3 ((Fun 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
97, 8mpan2 709 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
104, 9syl5req 2807 1 (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wss 3715  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fun 6051
This theorem is referenced by:  cnvresid  6129  funcnvres2  6130  f1orescnv  6314  f1imacnv  6315  sbthlem4  8240  fpwwe2lem6  9669  fpwwe2lem9  9672  hmeores  21796  dvcnvrelem2  24000  dfrelog  24532  efopnlem2  24623  diophrw  37842
  Copyright terms: Public domain W3C validator