Theorem funcnvres 6128

Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres	⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5279	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		df-rn 5277	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
3	1, 2	eqtri 2782	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
4	3	reseq2i 5548	. 2 ⊢ (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)) = (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
5		resss 5580	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹
6		cnvss 5450	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹
8		funssres 6091	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹) → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	mpan2 709	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
10	4, 9	syl5req 2807	1 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ⊆ wss 3715  ^◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269  Fun wfun 6043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fun 6051

This theorem is referenced by:  cnvresid  6129  funcnvres2  6130  f1orescnv  6314  f1imacnv  6315  sbthlem4  8240  fpwwe2lem6  9669  fpwwe2lem9  9672  hmeores  21796  dvcnvrelem2  24000  dfrelog  24532  efopnlem2  24623  diophrw  37842