MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcnvres 5925
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 5087 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 df-rn 5085 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
31, 2eqtri 2643 . . 3 (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
43reseq2i 5353 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴))
5 resss 5381 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
6 cnvss 5254 . . . 4 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
8 funssres 5888 . . 3 ((Fun 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
97, 8mpan2 706 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
104, 9syl5req 2668 1 (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wss 3555  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-fun 5849
This theorem is referenced by:  cnvresid  5926  funcnvres2  5927  f1orescnv  6109  f1imacnv  6110  sbthlem4  8017  fpwwe2lem6  9401  fpwwe2lem9  9404  hmeores  21484  dvcnvrelem2  23685  dfrelog  24216  efopnlem2  24303  diophrw  36802
  Copyright terms: Public domain W3C validator