Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvresid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvresid 5926
 Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnvresid ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid
StepHypRef Expression
1 cnvi 5496 . . 3 I = I
21eqcomi 2630 . 2 I = I
3 funi 5878 . . 3 Fun I
4 funeq 5867 . . 3 ( I = I → (Fun I ↔ Fun I ))
53, 4mpbii 223 . 2 ( I = I → Fun I )
6 funcnvres 5925 . . 3 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ ( I “ 𝐴)))
7 imai 5437 . . . 4 ( I “ 𝐴) = 𝐴
81, 7reseq12i 5354 . . 3 ( I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
96, 8syl6eq 2671 . 2 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
102, 5, 9mp2b 10 1 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   I cid 4984  ◡ccnv 5073   ↾ cres 5076   “ cima 5077  Fun wfun 5841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-fun 5849 This theorem is referenced by:  fcoi1  6035  f1oi  6131  relexpcnv  13709  tsrdir  17159  gicref  17634  ssidcn  20969  idqtop  21419  idhmeo  21486  ltrncnvnid  34890  dihmeetlem1N  36056  dihglblem5apreN  36057  diophrw  36799  cnvrcl0  37410  relexpaddss  37488
 Copyright terms: Public domain W3C validator