MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpn0 9785
Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpn0 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 9771 . . . 4 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 n0 3913 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓𝐴)
31, 2sylib 208 . . 3 (𝐴P → ∃𝑓 𝑓𝐴)
4 prn0 9771 . . . 4 (𝐵P𝐵 ≠ ∅)
5 n0 3913 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔𝐵)
64, 5sylib 208 . . 3 (𝐵P → ∃𝑔 𝑔𝐵)
73, 6anim12i 589 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵))
8 genp.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
108, 9genpprecl 9783 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11 ne0i 3903 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12 0pss 3991 . . . . . . . . 9 (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
1311, 12sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
1410, 13syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
1514expcomd 454 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1615exlimdv 1858 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑔 𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1716com23 86 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1817exlimdv 1858 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1918impd 447 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
207, 19mpd 15 1 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wrex 2909  wpss 3561  c0 3897  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  Qcnq 9634  Pcnp 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-ni 9654  df-nq 9694  df-np 9763
This theorem is referenced by:  genpcl  9790
  Copyright terms: Public domain W3C validator