Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlim2 28358
 Description: The limit of a sequence on a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlim2 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem hlim2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4808 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑣 𝑤𝐹𝑣 𝐴))
2 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑧) − 𝑤) = ((𝐹𝑧) − 𝐴))
32fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 → (norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) = (norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)))
43breq1d 4814 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → ((norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
54rexralbidv 3196 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
65ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
71, 6bibi12d 334 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥) ↔ (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥)) ↔ (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))))
9 vex 3343 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
109hlimi 28354 . . . . 5 (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥))
1110baib 982 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥))
1211expcom 450 . . 3 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝑤)) < 𝑥)))
138, 12vtoclga 3412 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹:ℕ⟶ ℋ → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥)))
1413impcom 445 1 ((𝐹:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐹𝑣 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(norm‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   < clt 10266  ℕcn 11212  ℤ≥cuz 11879  ℝ+crp 12025   ℋchil 28085  normℎcno 28089   −ℎ cmv 28091   ⇝𝑣 chli 28093 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-nn 11213  df-hlim 28138 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator