Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmot 25366
 Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
idmot (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motgrp.1 . 2 (𝜑𝐺𝑉)
2 f1oi 6141 . . 3 ( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃)
4 fvresi 6404 . . . . 5 (𝑎𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
54ad2antrl 763 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6 fvresi 6404 . . . . 5 (𝑏𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
76ad2antll 764 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
85, 7oveq12d 6633 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))
98ralrimivva 2967 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))
10 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
11 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
1210, 11ismot 25364 . . 3 (𝐺𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
1312biimpar 502 . 2 ((𝐺𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
141, 3, 9, 13syl12anc 1321 1 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908   I cid 4994   ↾ cres 5086  –1-1-onto→wf1o 5856  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  distcds 15890  Ismtcismt 25361 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-map 7819  df-ismt 25362 This theorem is referenced by:  motgrp  25372
 Copyright terms: Public domain W3C validator