HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelshi 29226
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1 𝑇 ∈ LinOp
imaelsh.2 𝐴S
Assertion
Ref Expression
imaelshi (𝑇𝐴) ∈ S

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5635 . . . 4 (𝑇𝐴) ⊆ ran 𝑇
2 rnelsh.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 29137 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 frn 6214 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ran 𝑇 ⊆ ℋ
61, 5sstri 3753 . . 3 (𝑇𝐴) ⊆ ℋ
72lnop0i 29138 . . . 4 (𝑇‘0) = 0
8 imaelsh.2 . . . . . 6 𝐴S
9 sh0 28382 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
11 ffun 6209 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → Fun 𝑇)
123, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 𝑇
138shssii 28379 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
143fdmi 6213 . . . . . . 7 dom 𝑇 = ℋ
1513, 14sseqtr4i 3779 . . . . . 6 𝐴 ⊆ dom 𝑇
16 funfvima2 6656 . . . . . 6 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)))
1712, 15, 16mp2an 710 . . . . 5 (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)
197, 18eqeltrri 2836 . . 3 0 ∈ (𝑇𝐴)
206, 19pm3.2i 470 . 2 ((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴))
21 ffn 6206 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
223, 21ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 Fn ℋ
23 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (𝑢 + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + 𝑣))
2423eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑇𝑥) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2524ralbidv 3124 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2625ralima 6661 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2722, 13, 26mp2an 710 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
288sheli 28380 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
298sheli 28380 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
302lnopaddi 29139 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
3128, 29, 30syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
32 shaddcl 28383 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
338, 32mp3an1 1560 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
34 funfvima2 6656 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
3512, 15, 34mp2an 710 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3837ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
39 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑇𝑥) + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
4039eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4140ralima 6661 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4222, 13, 41mp2an 710 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
4338, 42sylibr 224 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
4427, 43mprgbir 3065 . . 3 𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
452lnopmuli 29140 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
4629, 45sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
47 shmulcl 28384 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
488, 47mp3an1 1560 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
49 funfvima2 6656 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5012, 15, 49mp2an 710 . . . . . . . 8 ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5148, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5246, 51eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5352ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
54 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
5554eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5655ralima 6661 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5722, 13, 56mp2an 710 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5853, 57sylibr 224 . . . 4 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
5958rgen 3060 . . 3 𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
6044, 59pm3.2i 470 . 2 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
61 issh2 28375 . 2 ((𝑇𝐴) ∈ S ↔ (((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴)) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))))
6220, 60, 61mpbir2an 993 1 (𝑇𝐴) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  chil 28085   + cva 28086   · csm 28087  0c0v 28090   S csh 28094  LinOpclo 28113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hvass 28168  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvdistr2 28175  ax-hvmul0 28176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-hvsub 28137  df-sh 28373  df-lnop 29009
This theorem is referenced by:  rnelshi  29227
  Copyright terms: Public domain W3C validator