Theorem ltpsrpr 10524

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpsrpr.3	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
ltpsrpr	⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpsrpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
2		ltasr 10515	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4		addcompr 10436	. . . 4 ⊢ (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
5	4	breq1i 5066	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6		ltsrpr 10492	. . 3 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7		1pr 10430	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
8		ltapr 10460	. . . 4 ⊢ (1P ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
10	5, 6, 9	3bitr4i 305	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵)
11	3, 10	bitr3i 279	1 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4566   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  [cec 8280  Pcnp 10274  1_Pc1p 10275   +_P cpp 10276  <_P cltp 10278   ~_R cer 10279  Rcnr 10280   +_R cplr 10284   <_R cltr 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-omul 8100  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-ni 10287  df-pli 10288  df-mi 10289  df-lti 10290  df-plpq 10323  df-mpq 10324  df-ltpq 10325  df-enq 10326  df-nq 10327  df-erq 10328  df-plq 10329  df-mq 10330  df-1nq 10331  df-rq 10332  df-ltnq 10333  df-np 10396  df-1p 10397  df-plp 10398  df-ltp 10400  df-enr 10470  df-nr 10471  df-plr 10472  df-ltr 10474

This theorem is referenced by:  supsrlem  10526