MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom3 8092
Description: Set exponentiation dominates the mantissa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))

Proof of Theorem mapdom3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3913 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
2 oveq1 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑚 {𝑥}) = (𝐴𝑚 {𝑥}))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
42, 3breq12d 4636 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝑚 {𝑥}) ≈ 𝑦 ↔ (𝐴𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴))
5 vex 3193 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
6 vex 3193 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
75, 6mapsnen 7995 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑚 {𝑥}) ≈ 𝑦
84, 7vtoclg 3256 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴)
983ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≈ 𝐴)
109ensymd 7967 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴𝑚 {𝑥}))
11 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐵𝑊)
12 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
1312snssd 4316 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
14 ssdomg 7961 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → ({𝑥} ⊆ 𝐵 → {𝑥} ≼ 𝐵))
1511, 13, 14sylc 65 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ≼ 𝐵)
166snnz 4286 . . . . . . . 8 {𝑥} ≠ ∅
17 simpl 473 . . . . . . . . 9 (({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → {𝑥} = ∅)
1817necon3ai 2815 . . . . . . . 8 ({𝑥} ≠ ∅ → ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
1916, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
20 mapdom2 8091 . . . . . . 7 (({𝑥} ≼ 𝐵 ∧ ¬ ({𝑥} = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
2115, 19, 20sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
22 endomtr 7974 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (𝐴𝑚 {𝑥}) ∧ (𝐴𝑚 {𝑥}) ≼ (𝐴𝑚 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
2310, 21, 22syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
24233expia 1264 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵)))
2524exlimdv 1858 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵)))
261, 25syl5bi 232 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵)))
27263impia 1258 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wss 3560  c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  cen 7912  cdom 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917
This theorem is referenced by:  infmap2  9000
  Copyright terms: Public domain W3C validator