MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirne 25479
Description: Mirror of non-center point cannot be the center point. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirinv.b (𝜑𝐵𝑃)
mirne.1 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
mirne (𝜑 → (𝑀𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem mirne
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀𝐵) = 𝐴)
21fveq2d 6157 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = (𝑀𝐴))
3 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
9 mirval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
10 mirfv.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirinv.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mirmir 25474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
14 eqid 2621 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9mirinv 25478 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴 = 𝐴))
1614, 15mpbiri 248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1716adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
182, 13, 173eqtr3d 2663 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
19 mirne.1 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
2019adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → 𝐵𝐴)
2120neneqd 2795 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2218, 21pm2.65da 599 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀𝐵) = 𝐴)
2322neqned 2797 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5852  Basecbs 15792  distcds 15882  TarskiGcstrkg 25246  Itvcitv 25252  LineGclng 25253  pInvGcmir 25464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-trkgc 25264  df-trkgb 25265  df-trkgcb 25266  df-trkg 25269  df-mir 25465
This theorem is referenced by:  sacgr  25639
  Copyright terms: Public domain W3C validator