Theorem mrissmrid 16217

Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrissmrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
mrissmrid.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mrissmrid	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissmrid.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2		mrissmrid.3	. 2 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3		mrissmrid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		mrissmrid.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
5		mrissmrid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
6	2, 3, 5	mrissd 16212	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	4, 6	sstrd 3598	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
8	1, 2, 3, 6	ismri2d 16209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
9	5, 8	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
10	4	sseld 3587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑆))
11	4	ssdifd 3729	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
12	6	ssdifssd 3731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
13	3, 1, 11, 12	mrcssd 16200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
14	13	ssneld 3590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
15	10, 14	imim12d 81	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
16	15	ralimdv2 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
17	9, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
18	1, 2, 3, 7, 17	ismri2dd 16210	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  {csn 4153  ‘cfv 5850  Moorecmre 16158  mrClscmrc 16159  mrIndcmri 16160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-mri 16164

This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  16221  acsfiindd  17093