MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrissmrid 16217
Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrissmrid.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4 (𝜑𝑆𝐼)
mrissmrid.5 (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
mrissmrid (𝜑𝑇𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrissmrid.2 . 2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2 mrissmrid.3 . 2 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3 mrissmrid.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mrissmrid.5 . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
5 mrissmrid.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝐼)
62, 3, 5mrissd 16212 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
74, 6sstrd 3598 . 2 (𝜑𝑇𝑋)
81, 2, 3, 6ismri2d 16209 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
95, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
104sseld 3587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥𝑆))
114ssdifd 3729 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
126ssdifssd 3731 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
133, 1, 11, 12mrcssd 16200 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
1413ssneld 3590 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
1510, 14imim12d 81 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
1615ralimdv2 2960 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
179, 16mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
181, 2, 3, 7, 17ismri2dd 16210 1 (𝜑𝑇𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cdif 3557  wss 3560  {csn 4153  cfv 5850  Moorecmre 16158  mrClscmrc 16159  mrIndcmri 16160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-mri 16164
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  16221  acsfiindd  17093
  Copyright terms: Public domain W3C validator