Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndomo 8098
 Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php2 8089 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
21ex 450 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
3 domnsym 8030 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
42, 3nsyli 155 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
54adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
6 nnord 7020 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 nnord 7020 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
8 ordtri1 5715 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
9 ordelpss 5710 . . . . . . 7 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
109ancoms 469 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1110notbid 308 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
128, 11bitrd 268 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
136, 7, 12syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
145, 13sylibrd 249 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 7945 . . 3 (𝐵 ∈ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1615adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555   ⊊ wpss 3556   class class class wbr 4613  Ord word 5681  ωcom 7012   ≼ cdom 7897   ≺ csdm 7898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902 This theorem is referenced by:  nnsdomo  8099
 Copyright terms: Public domain W3C validator