Theorem ntrneik4w 40470

Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik4w	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik4w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
2		eqcom 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
3		ralv 3519	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
4	1, 2, 3	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
5		ssv 3991	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ⊆ V)
7		vex 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		eldif 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
11		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
12		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
13	10, 11, 12	ntrneiiex 40446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14		elmapi 8428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
16	15	ffvelrnda 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	elpwid 4550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
18	17	sseld 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	con3dimp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))
20	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
21	20, 16	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
22	21	elpwid 4550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ⊆ 𝐵)
23	22	sseld 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	con3dimp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
25	19, 24	2falsed 379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
26	25	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
27	9, 26	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
28	27	ralrimiv 3181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵)(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
29	6, 28	raldifeq 4439	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
30	12	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
31	30	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
32		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
33		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
34	10, 11, 31, 32, 33	ntrneiel 40451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
35	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
36	10, 11, 31, 32, 35	ntrneiel 40451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
37	34, 36	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
38	37	ralbidva 3196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
39	29, 38	bitr3d 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
40	4, 39	syl5bb 285	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
41	40	ralbidva 3196	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
42		ralcom 3354	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	41, 42	syl6bb 289	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ↑_m cmap 8406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-map 8408

This theorem is referenced by:  ntrneik4  40471