Theorem omsinds 7602

Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
omsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
omsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
omsinds	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7586	. . 3 ⊢ ω ⊆ On
2		epweon 7499	. . 3 ⊢ E We On
3		wess 5544	. . 3 ⊢ (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ E We ω
5		epse 5540	. 2 ⊢ E Se ω
6		omsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		omsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		predep 6176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = (ω ∩ 𝑥))
9		ordom 7591	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
10		ordtr 6207	. . . . . . 7 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
11		trss 5183	. . . . . . 7 ⊢ (Tr ω → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
13		sseqin2 4194	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ω ↔ (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
14	12, 13	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
15	8, 14	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
16	15	raleqdv 3417	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓))
17		omsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
18	16, 17	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
19	4, 5, 6, 7, 18	wfis3 6191	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  Tr wtr 5174   E cep 5466   We wwe 5515  Predcpred 6149  Ord word 6192  Oncon0 6193  ωcom 7582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-om 7583

This theorem is referenced by: (None)