MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneissb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneissb 20828
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opnneissb ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnneissb
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neips.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
21eltopss 20637 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) → 𝑁𝑋)
32adantr 481 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → 𝑁𝑋)
4 ssid 3603 . . . . . . 7 𝑁𝑁
5 sseq2 3606 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑁 → (𝑆𝑔𝑆𝑁))
6 sseq1 3605 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑁 → (𝑔𝑁𝑁𝑁))
75, 6anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ (𝑆𝑁𝑁𝑁)))
87rspcev 3295 . . . . . . 7 ((𝑁𝐽 ∧ (𝑆𝑁𝑁𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
94, 8mpanr2 719 . . . . . 6 ((𝑁𝐽𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
109ad2ant2l 781 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
111isnei 20817 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1211ad2ant2r 782 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
133, 10, 12mpbir2and 956 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) ∧ (𝑆𝑋𝑆𝑁)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
1413exp43 639 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽 → (𝑆𝑋 → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))))
15143imp 1254 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
16 ssnei 20824 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
1716ex 450 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
18173ad2ant1 1080 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
1915, 18impbid 202 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3555   cuni 4402  cfv 5847  Topctop 20617  neicnei 20811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-top 20621  df-nei 20812
This theorem is referenced by:  opnneiss  20832
  Copyright terms: Public domain W3C validator