MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadval 15121
Description: The full adder sequence is the half adder function applied to the inputs and the carry sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadval (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadval
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 sadval.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 sadval.c . . . 4 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3sadfval 15117 . . 3 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
54eleq2d 2684 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))}))
6 sadcp1.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
8 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐵𝑁𝐵))
9 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑁))
109eleq2d 2684 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑘) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
117, 8, 10hadbi123d 1531 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
1211elrab3 3352 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
136, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
145, 13bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  haddwhad 1529  caddwcad 1542  wcel 1987  {crab 2912  wss 3560  c0 3897  ifcif 4064  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  1𝑜c1o 7513  2𝑜c2o 7514  0cc0 9896  1c1 9897  cmin 10226  0cn0 11252  seqcseq 12757   sadd csad 15085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-had 1530  df-cad 1543  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-nn 10981  df-n0 11253  df-seq 12758  df-sad 15116
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  15124  saddisjlem  15129
  Copyright terms: Public domain W3C validator