MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  saddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saddisjlem 15388
Description: Lemma for sadadd 15391. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
saddisj.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
saddisjlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
saddisjlem (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saddisj.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 saddisj.2 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 saddisjlem.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4 saddisjlem.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
51, 2, 3, 4sadval 15380 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
6 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
76eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
87notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
98imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
1110eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1211notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1312imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
14 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
1514eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1615notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
1918eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2019notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2120imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
221, 2, 3sadc0 15378 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23 noel 4062 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑘 ∈ ∅
241ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
252ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 25, 3, 26sadcp1 15379 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
28 cad0 1705 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
30 elin 3939 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 saddisj.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3231ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝐴𝐵) = ∅)
3332eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3430, 33syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ((𝑘𝐴𝑘𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3527, 29, 343bitrd 294 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3623, 35mtbiri 316 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
3736ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
3837expcom 450 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
3938a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
409, 13, 17, 21, 22, 39nn0ind 11664 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
414, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))
42 hadrot 1689 . . . 4 (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
43 had0 1692 . . . 4 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4442, 43syl5bbr 274 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4541, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
46 noel 4062 . . . . 5 ¬ 𝑁 ∈ ∅
47 elin 3939 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
4831eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
4947, 48syl5bbr 274 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
5046, 49mtbiri 316 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
51 xor2 1619 . . . . 5 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ∧ ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5251rbaib 985 . . . 4 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5350, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
54 elun 3896 . . 3 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
5553, 54syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
565, 45, 553bitrd 294 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wxo 1613   = wceq 1632  haddwhad 1681  caddwcad 1694  wcel 2139  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  1𝑜c1o 7722  2𝑜c2o 7723  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458  0cn0 11484  seqcseq 12995   sadd csad 15344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-had 1682  df-cad 1695  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-sad 15375
This theorem is referenced by:  saddisj  15389
  Copyright terms: Public domain W3C validator