MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  saddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saddisjlem 15803
Description: Lemma for sadadd 15806. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
saddisj.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
saddisjlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
saddisjlem (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saddisj.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 saddisj.2 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 saddisjlem.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4 saddisjlem.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
51, 2, 3, 4sadval 15795 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
6 fveq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
76eleq2d 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
87notbid 319 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
98imbi2d 342 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10 fveq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
1110eleq2d 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1211notbid 319 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1312imbi2d 342 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
14 fveq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
1514eleq2d 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1615notbid 319 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 342 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
1918eleq2d 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2019notbid 319 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2120imbi2d 342 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
221, 2, 3sadc0 15793 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23 noel 4295 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑘 ∈ ∅
241ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
252ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 25, 3, 26sadcp1 15794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
28 cad0 1609 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
30 elin 4168 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 saddisj.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3231ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝐴𝐵) = ∅)
3332eleq2d 2898 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3430, 33syl5bbr 286 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ((𝑘𝐴𝑘𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3527, 29, 343bitrd 306 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3623, 35mtbiri 328 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
3736ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
3837expcom 414 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
3938a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
409, 13, 17, 21, 22, 39nn0ind 12066 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
414, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))
42 hadrot 1593 . . . 4 (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
43 had0 1596 . . . 4 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4442, 43syl5bbr 286 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4541, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
46 noel 4295 . . . . 5 ¬ 𝑁 ∈ ∅
47 elin 4168 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
4831eleq2d 2898 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
4947, 48syl5bbr 286 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
5046, 49mtbiri 328 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
51 xor2 1501 . . . . 5 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ∧ ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5251rbaib 539 . . . 4 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5350, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
54 elun 4124 . . 3 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
5553, 54syl6bbr 290 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
565, 45, 553bitrd 306 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  wxo 1495   = wceq 1528  haddwhad 1584  caddwcad 1598  wcel 2105  cun 3933  cin 3934  wss 3935  c0 4290  ifcif 4465  cmpt 5138  cfv 6349  (class class class)co 7145  cmpo 7147  1oc1o 8086  2oc2o 8087  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  cmin 10859  0cn0 11886  seqcseq 13359   sadd csad 15759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-had 1585  df-cad 1599  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-seq 13360  df-sad 15790
This theorem is referenced by:  saddisj  15804
  Copyright terms: Public domain W3C validator