Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanss 28191
 Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3608 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐵𝑥𝐴𝑥))
21ralrimivw 2966 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ∀𝑥S (𝐵𝑥𝐴𝑥))
3 ss2rab 3676 . . . . 5 ({𝑥S𝐵𝑥} ⊆ {𝑥S𝐴𝑥} ↔ ∀𝑥S (𝐵𝑥𝐴𝑥))
42, 3sylibr 224 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝑥S𝐵𝑥} ⊆ {𝑥S𝐴𝑥})
5 intss 4496 . . . 4 ({𝑥S𝐵𝑥} ⊆ {𝑥S𝐴𝑥} → {𝑥S𝐴𝑥} ⊆ {𝑥S𝐵𝑥})
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴𝐵 {𝑥S𝐴𝑥} ⊆ {𝑥S𝐵𝑥})
76adantl 482 . 2 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → {𝑥S𝐴𝑥} ⊆ {𝑥S𝐵𝑥})
8 sstr 3609 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
98ancoms 469 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
10 spanval 28176 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
119, 10syl 17 . 2 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
12 spanval 28176 . . 3 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) = {𝑥S𝐵𝑥})
1312adantr 481 . 2 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐵) = {𝑥S𝐵𝑥})
147, 11, 133sstr4d 3646 1 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482  ∀wral 2911  {crab 2915   ⊆ wss 3572  ∩ cint 4473  ‘cfv 5886   ℋchil 27760   Sℋ csh 27769  spancspn 27773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-hilex 27840  ax-hfvadd 27841  ax-hv0cl 27844  ax-hfvmul 27846 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-map 7856  df-nn 11018  df-hlim 27813  df-sh 28048  df-ch 28062  df-span 28152 This theorem is referenced by:  spanssoc  28192  span0  28385  spanuni  28387  spansnpji  28421  shatomistici  29204
 Copyright terms: Public domain W3C validator