Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toplly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toplly 21233
 Description: A topology is locally a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
toplly Locally Top = Top

Proof of Theorem toplly
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 21215 . . 3 (𝑗 ∈ Locally Top → 𝑗 ∈ Top)
21ssriv 3592 . 2 Locally Top ⊆ Top
3 resttop 20904 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥𝑗) → (𝑗t 𝑥) ∈ Top)
43adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥𝑗)) → (𝑗t 𝑥) ∈ Top)
5 ssid 3609 . . . . 5 Top ⊆ Top
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → Top ⊆ Top)
74, 6restlly 21226 . . 3 (⊤ → Top ⊆ Locally Top)
87trud 1490 . 2 Top ⊆ Locally Top
92, 8eqssi 3604 1 Locally Top = Top
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560  (class class class)co 6615   ↾t crest 16021  Topctop 20638  Locally clly 21207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-fin 7919  df-fi 8277  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-top 20639  df-bases 20690  df-lly 21209 This theorem is referenced by:  topnlly  21234
 Copyright terms: Public domain W3C validator