MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resttop 20945
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 20944 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2 tgtop 20758 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
32adantr 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
43oveq1d 6650 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽t 𝐴))
51, 4eqtrd 2654 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) = (𝐽t 𝐴))
6 topbas 20757 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
76adantr 481 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝐽 ∈ TopBases)
8 restbas 20943 . . 3 (𝐽 ∈ TopBases → (𝐽t 𝐴) ∈ TopBases)
9 tgcl 20754 . . 3 ((𝐽t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
107, 8, 93syl 18 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(𝐽t 𝐴)) ∈ Top)
115, 10eqeltrrd 2700 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  t crest 16062  topGenctg 16079  Topctop 20679  TopBasesctb 20730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-bases 20731
This theorem is referenced by:  resttopon  20946  resttopon2  20953  rest0  20954  restcld  20957  neitr  20965  restcls  20966  restntr  20967  ordtrest  20987  cmpsub  21184  fiuncmp  21188  1stcrest  21237  subislly  21265  llyrest  21269  nllyrest  21270  toplly  21274  cldllycmp  21279  kgencmp2  21330  llycmpkgen2  21334  1stckgen  21338  txkgen  21436  cnextfres1  21853  zdis  22600  cnmpt2pc  22708  dvbss  23646  dvreslem  23654  dvres2lem  23655  dvcnp2  23664  dvmptres  23707  ulmdvlem3  24137  psercn  24161  abelth  24176  ordtrestNEW  29941  cvxpconn  31198  cvmscld  31229  ptrest  33379  poimirlem29  33409  cnambfre  33429  limcresiooub  39674  limcresioolb  39675  cncfuni  39862  cncfiooicclem1  39869  fourierdlem32  40119  fourierdlem33  40120  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fouriersw  40211
  Copyright terms: Public domain W3C validator