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Theorem trufil 21637
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter 𝐿 to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴𝐿))

Proof of Theorem trufil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 21631 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
2 ufilfil 21631 . . . . 5 (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
3 trfil3 21615 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
42, 3sylan 488 . . . 4 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
51, 4syl5ib 234 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
64biimprd 238 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
7 elpwi 4145 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
8 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
9 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝑌)
119, 10sstrd 3597 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑌)
12 ufilss 21632 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿))
138, 11, 12syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑌𝐴𝑌)
15 elfvdm 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil)
16 ssexg 4769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V)
1714, 15, 16syl2anr 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
18 elrestr 16021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐿) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
19183expia 1264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
2017, 19syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
22 df-ss 3573 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
239, 22sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
2423eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴)))
2521, 24sylibd 229 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴)))
26 indif1 3852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌𝐴) ∖ 𝑥)
27 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴𝑌)
28 sseqin2 3800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌𝐴) = 𝐴)
3029difeq1d 3710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴𝑥))
3126, 30syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴𝑥))
32 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
3317adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V)
34 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)
35 elrestr 16021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))
3837expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑌𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
3925, 38orim12d 882 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))))
4013, 39mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
417, 40sylan2 491 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
4241ralrimiva 2961 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
436, 42jctird 566 . . . 4 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))))
44 isufil 21630 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))))
4543, 44syl6ibr 242 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴)))
465, 45impbid 202 . 2 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
47 ufilb 21633 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ 𝐴𝐿 ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
4847con1bid 345 . 2 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿𝐴𝐿))
4946, 48bitrd 268 1 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  cdif 3556  cin 3558  wss 3559  𝒫 cpw 4135  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  t crest 16013  Filcfil 21572  UFilcufil 21626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-rest 16015  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-fil 21573  df-ufil 21628
This theorem is referenced by:  ssufl  21645
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