MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrestr 15854
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr ((𝐽𝑉𝑆𝑊𝐴𝐽) → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . . 4 (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)
2 ineq1 3764 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑆) = (𝐴𝑆))
32eqeq2d 2615 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑆) = (𝑥𝑆) ↔ (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)))
43rspcev 3277 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)) → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆))
51, 4mpan2 702 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆))
6 elrest 15853 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑊) → ((𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆)))
75, 6syl5ibr 234 . 2 ((𝐽𝑉𝑆𝑊) → (𝐴𝐽 → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆)))
873impia 1252 1 ((𝐽𝑉𝑆𝑊𝐴𝐽) → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  cin 3534  (class class class)co 6523  t crest 15846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-rest 15848
This theorem is referenced by:  firest  15858  restbas  20710  tgrest  20711  resttopon  20713  restcld  20724  restfpw  20731  neitr  20732  restntr  20734  ordtrest  20754  cnrest  20837  lmss  20850  consubclo  20975  restnlly  21033  islly2  21035  cldllycmp  21046  lly1stc  21047  kgenss  21094  xkococnlem  21210  xkoinjcn  21238  qtoprest  21268  trfbas2  21395  trfil1  21438  trfil2  21439  fgtr  21442  trfg  21443  uzrest  21449  trufil  21462  flimrest  21535  cnextcn  21619  trust  21781  restutop  21789  trcfilu  21846  cfiluweak  21847  xrsmopn  22351  zdis  22355  xrge0tsms  22373  cnheibor  22489  cfilres  22816  lhop2  23495  psercn  23897  xrlimcnp  24408  xrge0tsmsd  28918  ordtrestNEW  29097  pnfneige0  29127  lmxrge0  29128  rrhre  29195  cvmscld  30311  cvmopnlem  30316  cvmliftmolem1  30319  poimirlem30  32408  subspopn  32517  iocopn  38393  icoopn  38398  limcresiooub  38509  limcresioolb  38510  fourierdlem32  38832  fourierdlem33  38833  fourierdlem48  38847  fourierdlem49  38848
  Copyright terms: Public domain W3C validator