MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uspreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspreg 21830
Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
uspreg.1 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
uspreg ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem uspreg
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2609 . . . . 5 (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
3 uspreg.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
41, 2, 3isusp 21817 . . . 4 (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
54simprbi 478 . . 3 (𝑊 ∈ UnifSp → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
65adantr 479 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)))
74simplbi 474 . . . 4 (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
87adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)))
9 simpr 475 . . . 4 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Haus)
106, 9eqeltrrd 2688 . . 3 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus)
11 eqid 2609 . . . 4 (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))
1211utopreg 21808 . . 3 (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
138, 10, 12syl2anc 690 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → (unifTop‘(UnifSt‘𝑊)) ∈ Reg)
146, 13eqeltrd 2687 1 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐽 ∈ Haus) → 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  Basecbs 15641  TopOpenctopn 15851  Hauscha 20864  Regcreg 20865  UnifOncust 21755  unifTopcutop 21786  UnifStcuss 21809  UnifSpcusp 21810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-fin 7822  df-fi 8177  df-topgen 15873  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-reg 20872  df-tx 21117  df-ust 21756  df-utop 21787  df-usp 21813
This theorem is referenced by:  cnextucn  21859  rrhre  29199
  Copyright terms: Public domain W3C validator