Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhre 29199
Description: The ℝHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 22308 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
2 rehaus 22342 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
32a1i 11 . . 3 (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Haus)
4 rerrext 29187 . . . 4 fld ∈ ℝExt
5 eqid 2609 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6 retopn 22892 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
75, 6rrhcne 29191 . . . 4 (ℝfld ∈ ℝExt → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
84, 7mp1i 13 . . 3 (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
9 retop 22307 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
101toptopon 20490 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
119, 10mpbi 218 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
12 idcn 20813 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
1413a1i 11 . . 3 (⊤ → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
159a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
16 f1oi 6071 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ
17 f1of 6035 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ
19 qssre 11630 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
20 fss 5955 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
2118, 19, 20mp2an 703 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
2319a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℚ ⊆ ℝ)
24 qdensere 22315 . . . . . . . 8 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)
269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
27 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)))
28 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑥𝑎)
29 opnneip 20675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
31 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V
32 qex 11632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ ∈ V
33 elrestr 15858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V ∧ ℚ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥})) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
3431, 32, 33mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
36 inss2 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ
37 resiima 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ)
39 inss1 3794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ 𝑎
4038, 39eqsstri 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎)
42 imaeq2 5368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → (( I ↾ ℚ) “ 𝑏) = (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)))
4342sseq1d 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → ((( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎 ↔ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎))
4443rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∧ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
4535, 41, 44syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
4645ex 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
4746ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
4847ancli 571 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))
4924eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
5049biimpri 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51 trnei 21448 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ℚ ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
5211, 19, 51mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
5350, 52mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ))
54 isflf 21549 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) ∧ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
5511, 21, 54mp3an13 1406 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
5748, 56mpbird 245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)))
58 ne0i 3879 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
6059adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
61 recusp 22895 . . . . . . . . . 10 fld ∈ CUnifSp
62 cuspusp 21856 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 fld ∈ UnifSp
646uspreg 21830 . . . . . . . . 9 ((ℝfld ∈ UnifSp ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus) → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
6563, 2, 64mp2an 703 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Reg
6665a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
67 resabs1 5334 . . . . . . . . . 10 (ℚ ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
6819, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
691cnrest 20841 . . . . . . . . . 10 ((( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
7013, 19, 69mp2an 703 . . . . . . . . 9 (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
7168, 70eqeltrri 2684 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
731, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 60, 66, 72cnextfres1 21624 . . . . . 6 (⊤ → ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
7473trud 1483 . . . . 5 ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
75 recms 22893 . . . . . . . . 9 fld ∈ CMetSp
7675elexi 3185 . . . . . . . 8 fld ∈ V
775, 6rrhval 29174 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ V → (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld))
79 qqhre 29198 . . . . . . . 8 (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
8079fveq2i 6091 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
8178, 80eqtri 2631 . . . . . 6 (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
8281reseq1i 5300 . . . . 5 ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ)
8374, 82, 683eqtr4i 2641 . . . 4 ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ)
8483a1i 11 . . 3 (⊤ → ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ))
851, 3, 8, 14, 84, 23, 25hauseqcn 29075 . 2 (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ))
8685trud 1483 1 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124   I cid 4938  ran crn 5029  cres 5030  cima 5031  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  cq 11620  (,)cioo 12002  t crest 15850  topGenctg 15867  fldcrefld 19714  Topctop 20459  TopOnctopon 20460  clsccl 20574  neicnei 20653   Cn ccn 20780  Hauscha 20864  Regcreg 20865  Filcfil 21401   fLimf cflf 21491  CnExtccnext 21615  UnifSpcusp 21810  CUnifSpccusp 21853  CMetSpccms 22854  ℚHomcqqh 29150  ℝHomcrrh 29171   ℝExt crrext 29172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-numer 15227  df-denom 15228  df-gz 15418  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-toset 16803  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-od 17717  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-field 18519  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-lmod 18634  df-nzr 19025  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-metu 19512  df-cnfld 19514  df-zring 19584  df-zrh 19616  df-zlm 19617  df-chr 19618  df-refld 19715  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-reg 20872  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-fcls 21497  df-cnext 21616  df-ust 21756  df-utop 21787  df-uss 21812  df-usp 21813  df-ucn 21832  df-cfilu 21843  df-cusp 21854  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-cncf 22420  df-cfil 22779  df-cmet 22781  df-cms 22857  df-omnd 28836  df-ogrp 28837  df-orng 28934  df-ofld 28935  df-qqh 29151  df-rrh 29173  df-rrext 29177
This theorem is referenced by:  sitmcl  29546
  Copyright terms: Public domain W3C validator