Theorem 19.21ht 1581

Description: Closed form of Theorem 19.21 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 27-May-1997.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
19.21ht	|- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( A. x ( ph -> ps ) <-> ( ph -> A. x ps ) ) )

Proof of Theorem 19.21ht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alim 1457	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> ps ) -> ( A. x ph -> A. x ps ) )
2	1	imim2d 54	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> ps ) -> ( ( ph -> A. x ph ) -> ( ph -> A. x ps ) ) )
3	2	com12 30	. . 3 |- ( ( ph -> A. x ph ) -> ( A. x ( ph -> ps ) -> ( ph -> A. x ps ) ) )
4	3	sps 1537	. 2 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( A. x ( ph -> ps ) -> ( ph -> A. x ps ) ) )
5		hba1 1540	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x ( ph -> A. x ph ) )
6		ax-4 1510	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( ph -> A. x ph ) )
7		hba1 1540	. . . . 5 |- ( A. x ps -> A. x A. x ps )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( A. x ps -> A. x A. x ps ) )
9	5, 6, 8	hbimd 1573	. . 3 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( ( ph -> A. x ps ) -> A. x ( ph -> A. x ps ) ) )
10		ax-4 1510	. . . . 5 |- ( A. x ps -> ps )
11	10	imim2i 12	. . . 4 |- ( ( ph -> A. x ps ) -> ( ph -> ps ) )
12	11	alimi 1455	. . 3 |- ( A. x ( ph -> A. x ps ) -> A. x ( ph -> ps ) )
13	9, 12	syl6 33	. 2 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( ( ph -> A. x ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )
14	4, 13	impbid 129	1 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> ( A. x ( ph -> ps ) <-> ( ph -> A. x ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-gen 1449  ax-4 1510  ax-ial 1534  ax-i5r 1535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by:  19.21t  1582  sbal2  2020