Theorem sbal2 1998

Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
sbal2	|- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1700	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
2		dveeq1 1995	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( y = z -> A. x y = z ) )
3	2	alimi 1432	. . . . . 6 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
4	3	hbnaes 1702	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
5		19.21ht 1561	. . . . 5 |- ( A. x ( y = z -> A. x y = z ) -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
7	1, 6	albidh 1457	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
8		alcom 1455	. . 3 |- ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
9	7, 8	bitr3di 194	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
10		sb6 1859	. 2 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
11		sb6 1859	. . 3 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	11	albii 1447	. 2 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
13	9, 10, 12	3bitr4g 222	1 |- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1330   [wsb 1736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737

This theorem is referenced by: (None)