Theorem sbal2 1946

Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
sbal2	|- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 1412	. . 3 |- ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
2		hbnae 1656	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
3		dveeq1 1943	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( y = z -> A. x y = z ) )
4	3	alimi 1389	. . . . . 6 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
5	4	hbnaes 1658	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
6		19.21ht 1518	. . . . 5 |- ( A. x ( y = z -> A. x y = z ) -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
8	2, 7	albidh 1414	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
9	1, 8	syl5rbbr 193	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
10		sb6 1814	. 2 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
11		sb6 1814	. . 3 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	11	albii 1404	. 2 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
13	9, 10, 12	3bitr4g 221	1 |- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1287   [wsb 1692

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693

This theorem is referenced by: (None)