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Theorem sbal2 1943
Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
sbal2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable groups:    y, z    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2
StepHypRef Expression
1 alcom 1410 . . 3  |-  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) )
2 hbnae 1653 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. y  -.  A. x  x  =  y )
3 dveeq1 1940 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
43alimi 1387 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  A. x  x  =  y  ->  A. x
( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )
54hbnaes 1655 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x
( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )
6 19.21ht 1516 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
82, 7albidh 1412 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
91, 8syl5rbbr 193 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) ) )
10 sb6 1811 . 2  |-  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
)
11 sb6 1811 . . 3  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  z  ->  ph )
)
1211albii 1402 . 2  |-  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) )
139, 10, 123bitr4g 221 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103   A.wal 1285   [wsb 1689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690
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