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Theorem sbal2 2000
Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
sbal2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Distinct variable groups:    y, z    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2
StepHypRef Expression
1 hbnae 1701 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. y  -.  A. x  x  =  y )
2 dveeq1 1999 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
32alimi 1435 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  A. x  x  =  y  ->  A. x
( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )
43hbnaes 1703 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x
( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )
5 19.21ht 1561 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
71, 6albidh 1460 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. y ( y  =  z  ->  A. x ph ) ) )
8 alcom 1458 . . 3  |-  ( A. y A. x ( y  =  z  ->  ph )  <->  A. x A. y ( y  =  z  ->  ph ) )
97, 8bitr3di 194 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y ( y  =  z  ->  A. x ph )  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) ) )
10 sb6 1866 . 2  |-  ( [ z  /  y ] A. x ph  <->  A. y
( y  =  z  ->  A. x ph )
)
11 sb6 1866 . . 3  |-  ( [ z  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  z  ->  ph )
)
1211albii 1450 . 2  |-  ( A. x [ z  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( y  =  z  ->  ph ) )
139, 10, 123bitr4g 222 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
z  /  y ] A. x ph  <->  A. x [ z  /  y ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1333   [wsb 1742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743
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