Theorem sbal2 2048

Description: Move quantifier in and out of substitution. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
sbal2	|- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1744	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
2		dveeq1 2047	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> ( y = z -> A. x y = z ) )
3	2	alimi 1478	. . . . . 6 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
4	3	hbnaes 1746	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = z -> A. x y = z ) )
5		19.21ht 1604	. . . . 5 |- ( A. x ( y = z -> A. x y = z ) -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
7	1, 6	albidh 1503	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
8		alcom 1501	. . 3 |- ( A. y A. x ( y = z -> ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
9	7, 8	bitr3di 195	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
10		sb6 1910	. 2 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
11		sb6 1910	. . 3 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	11	albii 1493	. 2 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) )
13	9, 10, 12	3bitr4g 223	1 |- ( -. A. x x = y -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   [wsb 1785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786

This theorem is referenced by: (None)