Theorem 2alsraln0m 17066

Description: Nested general "all some" quantifiers with class membership as their antecedents: ph holds for every x in A and every y in B, and both A and B are inhabited. (Contributed by Peter Mazsa, 28-May-2019.) (Revised by David A. Wheeler, 20-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2alsraln0m	|- ( A.E. x ( x e. A -> A.E. y ( y e. B -> ph ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ph /\ ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem 2alsraln0m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 171	. . . . 5 |- ( x e. A <-> x e. A )
2		alsraln0m 17062	. . . . 5 |- ( A.E. y ( y e. B -> ph ) <-> ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) )
3	1, 2	alsbii 17049	. . . 4 |- ( A.E. x ( x e. A -> A.E. y ( y e. B -> ph ) ) <-> A.E. x ( x e. A -> ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) ) )
4		alsraln0m 17062	. . . 4 |- ( A.E. x ( x e. A -> ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) )
5	3, 4	bitri 184	. . 3 |- ( A.E. x ( x e. A -> A.E. y ( y e. B -> ph ) ) <-> ( A. x e. A ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) )
6		r19.27mv 3624	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) ) )
7	6	pm5.32ri 459	. . 3 |- ( ( A. x e. A ( A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) <-> ( ( A. x e. A A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) )
8	5, 7	bitri 184	. 2 |- ( A.E. x ( x e. A -> A.E. y ( y e. B -> ph ) ) <-> ( ( A. x e. A A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) )
9		anass 405	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ph /\ ( E. y y e. B /\ E. x x e. A ) ) )
10		ancom 266	. . . 4 |- ( ( E. y y e. B /\ E. x x e. A ) <-> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
11	10	anbi2i 461	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ph /\ ( E. y y e. B /\ E. x x e. A ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ph /\ ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) ) )
12	9, 11	bitri 184	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. B ph /\ E. y y e. B ) /\ E. x x e. A ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ph /\ ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) ) )
13	8, 12	bitri 184	1 |- ( A.E. x ( x e. A -> A.E. y ( y e. B -> ph ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ph /\ ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   A.E.wals 17034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-als 17036

This theorem is referenced by:  2alsraln0idm  17067