Theorem alsralrex 17061

Description: The general "all some" quantifier with class membership as its antecedent holds if and only if ph holds for every x in A and some x in A satisfies ph. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Nov-2018.) (Revised by David A. Wheeler, 20-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
alsralrex	|- ( A.E. x ( x e. A -> ph ) <-> ( A. x e. A ph /\ E. x e. A ph ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem alsralrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-als 17036	. . 3 |- ( A.E. x ( x e. A -> ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ E. x x e. A ) )
2		df-ral 2533	. . . . 5 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
3	2	bicomi 132	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x e. A ph )
4	3	anbi1i 462	. . 3 |- ( ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ E. x x e. A ) <-> ( A. x e. A ph /\ E. x x e. A ) )
5	1, 4	bitri 184	. 2 |- ( A.E. x ( x e. A -> ph ) <-> ( A. x e. A ph /\ E. x x e. A ) )
6		r19.2m 3614	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ph ) -> E. x e. A ph )
7	6	expcom 116	. . . 4 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A -> E. x e. A ph ) )
8		rexm 3627	. . . . 5 |- ( E. x e. A ph -> E. x x e. A )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x e. A ph -> E. x x e. A ) )
10	7, 9	impbid 129	. . 3 |- ( A. x e. A ph -> ( E. x x e. A <-> E. x e. A ph ) )
11	10	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( A. x e. A ph /\ E. x x e. A ) <-> ( A. x e. A ph /\ E. x e. A ph ) )
12	5, 11	bitri 184	1 |- ( A.E. x ( x e. A -> ph ) <-> ( A. x e. A ph /\ E. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   A.E.wals 17034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-clel 2234  df-ral 2533  df-rex 2534  df-als 17036

This theorem is referenced by:  ralals  17063  rexals  17064